¿Qué es una permutación de collar?
Una permutación de collar (conocida en japonés como «juzu junretsu» o permutación de rosario) cuenta las distintas formas de disponer n objetos diferentes alrededor de un círculo, considerando iguales dos disposiciones cuando una se obtiene de la otra al girar el círculo O al darle la vuelta al collar entero (reflexión). Esto la diferencia de la permutación circular («en junretsu»), que solo considera equivalentes las rotaciones. Se trata de un resultado universal de la combinatoria: la fórmula es la misma en cualquier país.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un valor inicial y un valor final para \(n\) (cada uno entre 1 y 100), elige la precisión de visualización en cifras significativas y la herramienta mostrará una fila por cada entero \(n\) del rango con su número de permutaciones de collar. Como los recuentos crecen de forma factorial, los valores grandes aparecen en notación científica redondeados al número de cifras significativas que hayas elegido, mientras que los valores que caben de forma exacta se muestran completos.
La fórmula explicada
Partimos de todas las \(n!\) ordenaciones lineales de \(n\) objetos distintos. Al colocarlos en círculo, las \(n\) rotaciones de cualquier ordenación pasan a ser idénticas, así que dividimos entre \(n\) para obtener las permutaciones circulares: \(n!/n = (n-1)!\). Un collar también se puede voltear, lo que empareja cada disposición con su imagen especular, de modo que dividimos además entre 2: permutaciones de collar = \((n-1)!/2\). Para \(n = 1\) o \(n = 2\) esto no daría un número entero, por lo que, por convención, en cada caso se considera que existe exactamente 1 disposición.
$$N(n) = \dfrac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$
Ejemplo resuelto
Para el rango de \(n = 3\) a \(8\): \(n=3\) da $$(3-1)!/2 = 2/2 = 1;$$ \(n=4\) da $$6/2 = 3;$$ \(n=5\) da $$24/2 = 12;$$ \(n=6\) da $$120/2 = 60;$$ \(n=7\) da $$720/2 = 360;$$ \(n=8\) da $$5040/2 = 2520.$$ En el extremo superior del rango por defecto, \(n=30\) da $$29!/2 = 4{.}420{.}880{.}996{.}869{.}850{.}977{.}271{.}808{.}000{.}000,$$ es decir, aproximadamente \(4{,}42 \times 10^{30}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué se divide entre 2? El 2 elimina la simetría de reflexión: un collar tiene el mismo aspecto al darle la vuelta, así que las versiones en sentido horario y antihorario del mismo orden cíclico se cuentan una sola vez.
¿Por qué n=1 y n=2 son casos especiales? La fórmula general da 0,5 en ambos casos, lo que no es un recuento válido; desde el punto de vista geométrico, solo hay una manera de disponer uno o dos objetos, por lo que indicamos 1.
¿En qué se diferencian de las permutaciones circulares? Las permutaciones circulares cuentan salvo rotación y equivalen a \((n-1)!\); las permutaciones de collar permiten además la reflexión y equivalen a \((n-1)!/2\) para \(n \geq 3\).
