¿Qué es el producto de Hadamard?
El producto de Hadamard (también conocido como producto elemento a elemento, producto entrada por entrada o producto de Schur) de dos matrices A y B con las mismas dimensiones es la matriz C en la que cada elemento es el producto de los elementos correspondientes de A y B. Se denota C = A ∘ B. Es fundamental tener claro que no se trata de la multiplicación matricial habitual: aquí no se suma sobre ningún índice interno, sino que simplemente se multiplican las entradas una a una.
Cómo usar esta calculadora
Indica el número de filas (j) y de columnas (k) que comparten ambas matrices. Introduce la Matriz A y la Matriz B, una fila por línea y con los valores separados por espacios o comas. Si lo deseas, elige una precisión de visualización (cifras significativas) para mostrar más o menos decimales. Ambas matrices deben tener exactamente j filas y k columnas — si sus dimensiones no coinciden, el producto de Hadamard no está definido y la calculadora devuelve un error.
La fórmula, paso a paso
Para cada índice de fila \(j\) y de columna \(k\), el resultado es:
$$\left(A \circ B\right)_{jk} = a_{jk} \cdot b_{jk}, \quad j = 1 \ldots \text{Rows}, \; k = 1 \ldots \text{Cols}$$La matriz resultante C conserva la misma forma \(j \times k\) que las matrices de entrada. La operación es conmutativa (A ∘ B = B ∘ A) y asociativa, y su elemento neutro es la matriz formada únicamente por unos. Las entradas pueden ser cualquier número real, incluidos el cero y los negativos; multiplicar por cero simplemente da cero, y como no hay divisiones tampoco existe riesgo de dividir entre cero.
Ejemplo resuelto
Sean A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]]. Al multiplicar entrada por entrada obtenemos \(c_{11} = 1 \times 5 = 5\), \(c_{12} = 2 \times 6 = 12\), \(c_{21} = 3 \times 7 = 21\) y \(c_{22} = 4 \times 8 = 32\), de modo que C = [[5, 12], [21, 32]]. En cambio, el producto matricial habitual A·B sería [[19, 22], [43, 50]] — un resultado claramente distinto, lo que confirma que esta herramienta opera elemento a elemento.
Preguntas frecuentes
¿Funciona con vectores y escalares? Sí. Los vectores fila (1×k), los vectores columna (j×1) y los escalares (1×1) funcionan sin problema siempre que A y B tengan la misma forma.
¿Qué pasa si A y B tienen tamaños distintos? El producto de Hadamard no está definido; es imprescindible usar matrices de dimensiones idénticas. La calculadora señala cualquier discrepancia.
¿Para qué sirve el desplegable de precisión? Solo cambia cuántas cifras significativas se muestran. Es una opción de formato y no altera en absoluto el cálculo subyacente.
