Qu'est-ce que la fonction sigmoïde ?
La fonction sigmoïde, ou logistique, ramène n'importe quel nombre réel dans l'intervalle ouvert (0, 1) en dessinant une courbe lisse en forme de S. Définie par \(\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-\text{a}\,x}}\), c'est l'une des fonctions d'activation les plus utilisées dans les réseaux de neurones, et un grand classique de la régression logistique, de la modélisation de probabilités et des courbes de croissance. Le paramètre de gain \(\text{a}\) règle la raideur de la transition : avec \(\text{a} = 1\), on retrouve la sigmoïde « canonique » des manuels, tandis que des valeurs de \(\text{a}\) plus élevées resserrent la transition jusqu'à la rapprocher d'une fonction en escalier.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le gain \(\text{a}\), puis la plage sur laquelle vous souhaitez évaluer la fonction : x minimum, x maximum et le pas (incrément). L'outil construit un tableau de \(\sigma(x)\), de sa dérivée première \(\sigma^{\prime}(x)\) et de sa dérivée seconde \(\sigma^{\prime\prime}(x)\) à chaque pas, et affiche les valeurs ponctuelles pour le x facultatif que vous renseignez. Veillez à ce que le pas soit strictement supérieur à zéro et que le x maximum soit au moins égal au x minimum, faute de quoi aucune ligne ne sera générée.
Les formules expliquées
Les dérivées prennent une forme particulièrement élégante lorsqu'on les exprime à partir de \(\sigma\) elle-même. En dérivant, on obtient $$\sigma^{\prime}(x) = \text{a}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)$$ toujours positive (la courbe est strictement croissante), qui atteint sa valeur maximale \(\frac{\text{a}}{4}\) au point d'inflexion \(x = 0\). La dérivée seconde, $$\sigma^{\prime\prime}(x) = \text{a}^{2}\,\sigma(x)\bigl(1 - \sigma(x)\bigr)\bigl(1 - 2\,\sigma(x)\bigr)$$ change de signe en \(x = 0\), là où \(\sigma = 0{,}5\), ce qui confirme la présence du point d'inflexion.
Exemple détaillé
Prenons \(\text{a} = 1\) et \(x = 2\). On a \(e^{-2} = 0{,}135335\), donc $$\sigma(2) = \frac{1}{1{,}135335} = 0{,}880797$$ La dérivée première vaut \(0{,}880797 \cdot (1 - 0{,}880797) = 0{,}104994\). La dérivée seconde donne \(0{,}104994 \cdot (1 - 2\cdot 0{,}880797) = 0{,}104994 \cdot (-0{,}761594) = -0{,}079963\). En \(x = 0\), les valeurs sont \(\sigma = 0{,}5\), \(\sigma^{\prime} = 0{,}25\) et \(\sigma^{\prime\prime} = 0\).
FAQ
À quoi sert le gain \(\text{a}\) ? Il met l'entrée à l'échelle. Plus \(\text{a}\) est grand, plus la courbe monte vite autour de \(x = 0\) ; lorsque \(\text{a}\) augmente, la sigmoïde se rapproche d'une marche brutale, tandis que \(\text{a} = 0\) donne une droite plate à 0,5.
Où se situe le point le plus raide ? Toujours en \(x = 0\), où la pente vaut \(\frac{\text{a}}{4}\) et où la dérivée seconde est nulle.
Pourquoi le résultat n'est-il jamais exactement 0 ou 1 ? L'exponentielle n'atteint jamais zéro pour un x fini, donc \(\sigma\) reste strictement à l'intérieur de (0, 1). Pour des valeurs de \(|\text{a}\cdot x|\) très grandes, le résultat est arrondi numériquement à 0 ou 1, ce que ce calculateur gère sans problème.
