Calculateur de dérivée première de la fonction tanh

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x (nombre réel)

Résultats

Dérivée première tanh'(x)

0,786448

= 1 − tanh(x)²

tanh(x)	0,462117
tanh'(x)	0,786448
tanh''(x)	-0,726862

À quoi sert ce calculateur

Cet outil évalue la fonction tangente hyperbolique tanh(x) et, surtout, sa dérivée première tanh'(x) pour n'importe quel réel x. Il fournit également la dérivée seconde tanh''(x). La tangente hyperbolique est une fonction régulière en forme de S (sigmoïde) dont la sortie est bornée entre −1 et 1. C'est précisément pour cette raison qu'on la retrouve si souvent comme fonction d'activation dans les réseaux de neurones, ainsi que dans de nombreux modèles de physique et d'ingénierie.

Comment l'utiliser

Saisissez un nombre réel quelconque pour x, puis validez. Le calculateur évalue tanh(x) une seule fois, puis en déduit à la fois la dérivée première et la dérivée seconde. Aucune unité à convertir : x est un réel sans dimension, et tous les résultats sont eux aussi sans dimension.

La formule expliquée

La tangente hyperbolique s'écrit \(\tanh(x) = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}\). Sa dérivée première possède une forme close particulièrement élégante :

$$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x)$$

soit encore \(\operatorname{sech}^{2}(x) = \dfrac{1}{\cosh^{2}(x)}\). Comme \(\tanh(x)\) appartient à l'intervalle \((-1, 1)\), la dérivée première reste toujours comprise dans \((0, 1]\), avec un maximum en \(x = 0\) où la pente vaut exactement \(1\). La dérivée seconde vaut \(f''(x) = -2 \tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right)\) : c'est une fonction impaire qui s'annule en \(x = 0\).

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La fonction tanh (courbe en S) et sa dérivée première 1 - tanh²(x), une bosse en forme de cloche culminant à x = 0.

Exemple détaillé (x = 0,5)

$$\tanh(0{,}5) = \frac{1{,}6487212707 - 0{,}6065306597}{1{,}6487212707 + 0{,}6065306597} = 0{,}4621171573$$On obtient alors $$f'(0{,}5) = 1 - 0{,}4621171573^{2} = 0{,}7864477541$$ et $$f''(0{,}5) = -2 \times 0{,}4621171573 \times 0{,}7864477541 = -0{,}7269278407$$

En x = 0,5, la dérivée est égale à la pente de la tangente à la courbe tanh.

FAQ

Pourquoi le gradient s'annule-t-il pour les grandes valeurs de x ? À mesure que x augmente, tanh sature vers +1 ou −1, si bien que \(1 - \tanh^{2}\) tend vers \(0\). Ce phénomène de « gradient évanescent » peut ralentir l'entraînement des réseaux profonds.

La dérivée peut-elle être négative ? Non. \(f'(x) = \operatorname{sech}^{2}(x)\) est strictement positive pour tout réel \(x\) : tanh est donc toujours croissante.

Y a-t-il un risque de division par zéro ? Non. \(\cosh(x)\) vaut au moins \(1\) pour tout réel \(x\), donc \(\operatorname{sech}^{2}(x)\) est toujours parfaitement définie.