Qu'est-ce que la fonction tanh ?
La tangente hyperbolique, notée \(\tanh(x)\), est une fonction lisse en forme de S (sigmoïde) définie pour tout nombre réel \(x\). Elle correspond au rapport entre la différence et la somme des exponentielles \(e^x\) et \(e^{-x}\). Sa valeur reste toujours strictement comprise entre \(-1\) et \(1\), et c'est une fonction impaire : \(\tanh(-x) = -\tanh(x)\). En apprentissage automatique, tanh est une fonction d'activation très prisée pour les neurones, car elle est centrée sur zéro — ce qui aide souvent l'entraînement par descente de gradient à converger plus vite qu'une sigmoïde classique allant de 0 à 1.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez n'importe quel nombre réel pour \(x\) : l'outil affiche aussitôt \(\tanh(x)\) accompagné de deux dérivées optionnelles, fort utiles en analyse, en physique et en rétropropagation. Les nombres négatifs, les décimaux et les très grandes valeurs sont tous acceptés. Pour un grand \(x\) positif, la valeur sature vers \(+1\) ; pour un grand \(x\) négatif, elle sature vers \(-1\).
La formule expliquée
La définition de base est $$\tanh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$$ Le dénominateur vaut toujours au moins 2 : il n'y a donc jamais de division par zéro. La dérivée première découle de l'élégante identité $$f'(x) = 1 - \tanh^{2}(x),$$ que l'on note aussi \(\operatorname{sech}^{2}(x)\). En dérivant une nouvelle fois, on obtient la dérivée seconde $$f''(x) = -2\,\tanh(x)\left(1 - \tanh^{2}(x)\right).$$ Pour garantir la stabilité numérique avec de très grandes valeurs de \(|x|\), une reformulation à base de l'exponentielle de \((-2x)\) est utilisée en interne afin d'éviter tout dépassement de capacité.
Exemple détaillé (x = 0,5)
Avec \(e^{0{,}5} = 1{,}6487212707\) et \(e^{-0{,}5} = 0{,}6065306597\), on a $$\tanh(0{,}5) = \frac{1{,}0421906110}{2{,}2552519304} = 0{,}4621171573.$$ La dérivée première vaut $$1 - 0{,}4621171573^{2} = 0{,}7864477623,$$ et la dérivée seconde donne $$-2 \times 0{,}4621171573 \times 0{,}7864477623 = -0{,}7269989018.$$
FAQ
Quel est l'ensemble des valeurs de tanh ? L'intervalle ouvert \((-1, 1)\) ; la fonction s'en approche sans jamais atteindre les bornes.
Combien vaut tanh(0) ? Exactement 0, avec \(f'(0) = 1\) et \(f''(0) = 0\).
Pourquoi préférer tanh à la sigmoïde ? tanh est centrée sur zéro (ses sorties sont symétriques par rapport à 0), ce qui peut accélérer l'apprentissage d'un réseau de neurones, alors qu'une sigmoïde logistique ne produit que des valeurs positives comprises entre 0 et 1.
