À quoi sert cette calculatrice
Cette calculatrice de logarithme évalue trois fonctions logarithmiques courantes pour un nombre réel positif x : le logarithme népérien \(\ln(x)\) (base e), le logarithme décimal \(\log(x)\) (base 10) et le logarithme dans n'importe quelle base a, noté \(\log_a(x)\). C'est un outil mathématique universel, sans hypothèse de pays ni d'unité : chaque saisie est un simple nombre sans dimension.
Mode d'emploi
Sélectionnez une fonction dans le menu déroulant. Pour \(\ln(x)\) et \(\log(x)\), il suffit d'entrer l'argument x. Pour \(\log_a(x)\), saisissez également la base a (elle doit être strictement supérieure à 0 et différente de 1). Entrez x (qui doit être strictement positif pour obtenir un résultat réel) et lisez le résultat, affiché avec environ 14 chiffres significatifs.
La formule expliquée
Le logarithme népérien répond à la question « à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir x ? » et le logarithme décimal à « à quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir x ? ». Pour une base quelconque, la calculatrice applique la formule de changement de base $$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$ Cela fonctionne parce que les logarithmes dans toutes les bases sont proportionnels entre eux : diviser deux logarithmes népériens élimine le choix de la base au numérateur comme au dénominateur.
Exemple concret
Choisissez \(\log_a(x)\) avec la base a = 2 et x = 8. On obtient alors $$\log_2(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794415\ldots}{0{,}6931472\ldots} = 3$$ car 2 élevé à la puissance 3 vaut 8. De la même manière, \(\log(1000) = 3\) puisque 10 au cube donne 1000, et \(\ln(3)\) vaut environ \(1{,}0986122886681\).
FAQ
Pourquoi x doit-il être strictement positif ? Un logarithme réel n'est défini que pour des arguments positifs. Lorsque x tend vers 0, le logarithme tend vers moins l'infini, et pour x inférieur ou égal à 0 il n'existe aucune valeur réelle (l'outil d'origine renvoie alors une valeur principale complexe).
Pourquoi la base ne peut-elle pas valoir 1 ? \(\ln(1)\) est égal à 0, ce qui ferait diviser par zéro dans la formule de changement de base. Les logarithmes en base 1 ne sont donc pas définis.
Quelle est la différence entre ln et log ? ln correspond à la base e (environ 2,71828) ; ici, log désigne la base 10. Ils diffèrent d'un facteur constant : \(\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
