Calculateur de fonction composée — (f∘g)(x)

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Résultats

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

valeur pour le x choisi

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

Qu'est-ce qu'une fonction composée ?

Une fonction composée associe deux fonctions en injectant le résultat de l'une dans l'autre. La notation $(f \circ g)(x)$, qui se lit « f rond g », signifie qu'on évalue d'abord la fonction intérieure $g$ en $x$, puis qu'on applique $f$ à ce résultat : $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. L'ordre est déterminant : la composition dans l'autre sens, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$, donne généralement un résultat différent.

Schéma plat montrant x entrant dans la fonction g, dont la sortie alimente la fonction f, produisant f(g(x)) — Une fonction composée enchaîne deux fonctions : x entre dans g, puis g(x) entre dans f.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les coefficients de deux fonctions du second degré, $f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$ et $g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h$. Pour traiter une fonction affine comme $g(x) = 2x + 1$, posez $d = 0$, $e = 2$, $h = 1$. Pour une fonction constante, mettez les coefficients de degré supérieur à 0. Choisissez ensuite la valeur de $x$ à évaluer : le calculateur renvoie $g(x)$, $f(g(x))$, $f(x)$ et $g(f(x))$, de quoi comparer les deux compositions.

La formule expliquée

Pour calculer $(f \circ g)(x)$ : déterminez d'abord la valeur intérieure $u = g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h$. Substituez ensuite $u$ dans $f$ : $f(u) = a \cdot u^{2} + b \cdot u + c$. La valeur composée vaut donc $$ (f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c} $$ $$ \text{où}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h} $$ La composition inverse $(g \circ f)(x)$ échange les rôles, en utilisant $f(x)$ comme valeur intérieure.

Schéma opposant f composée avec g à g composée avec f, montrant l'ordre différent — L'ordre compte : (f∘g)(x) et (g∘f)(x) sont généralement différents.

Exemple détaillé

Prenons $f(x) = x^{2} + 1$ ($a=1$, $b=0$, $c=1$) et $g(x) = 2x + 3$ ($d=0$, $e=2$, $h=3$), évaluées en $x = 2$. D'abord $$ g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7 $$ Puis $$ f(7) = 7^{2} + 1 = 50 $$ On obtient donc $(f \circ g)(2) = 50$. À titre de comparaison, $f(2) = 5$ et $$ (g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13 $$

FAQ

$(f \circ g)(x)$ est-il égal à $f(x) \cdot g(x)$ ? Non. La composition substitue $g(x)$ dans $f$, tandis que la multiplication multiplie les deux résultats : ce sont deux opérations totalement différentes.

A-t-on $(f \circ g) = (g \circ f)$ ? Seulement dans des cas particuliers. En général, la composition de fonctions n'est pas commutative.

Puis-je utiliser des fonctions affines ? Oui : mettez le coefficient de $x^{2}$ à 0 pour obtenir une fonction affine ou constante.

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