合成関数とは？
合成関数とは、一方の関数の出力をもう一方の関数の入力として用いることで、2つの関数を組み合わせたものです。記号 \((f \circ g)(x)\) は「f コンポーズ g」「g と f の合成」と読み、まず内側の関数 g に x を代入し、その結果に f を作用させることを意味します。式で表すと \((f \circ g)(x) = f(g(x))\) です。ここで重要なのは順序で、逆向きに合成した \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) は、ふつう異なる値になります。
この計算機の使い方
2つの2次関数 \(f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c\) と \(g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h\) の係数を入力してください。\(g(x) = 2x + 1\) のような1次関数を扱いたいときは、\(d = 0\)、\(e = 2\)、\(h = 1\) と設定します。定数関数にしたい場合は、次数の高い係数を 0 にします。代入する x の値を選ぶと、計算機が \(g(x)\)、\(f(g(x))\)、\(f(x)\)、\(g(f(x))\) を返すので、2通りの合成を見比べられます。
計算式の解説
\((f \circ g)(x)\) を求める手順は次のとおりです。まず内側の値 \(u = g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h\) を計算します。次に、その u を f に代入して \(f(u) = a\,u^{2} + b\,u + c\) を求めます。したがって合成した値は $$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = a\,g^{2} + b\,g + c$$ $$\text{where}\quad g = g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h$$ となります。逆向きの合成 \((g \circ f)(x)\) では役割を入れ替え、\(f(x)\) を内側の値として用います。
計算例
\(f(x) = x^{2} + 1\)（\(a=1, b=0, c=1\)）、\(g(x) = 2x + 3\)（\(d=0, e=2, h=3\)）として、\(x = 2\) で計算してみましょう。まず $$g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$$ 次に $$f(7) = 7^{2} + 1 = 50$$ よって \((f \circ g)(2) = 50\) となります。比較すると、\(f(2) = 5\) で、\((g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13\) です。
よくある質問
\((f \circ g)(x)\) は \(f(x) \cdot g(x)\) と同じですか？ いいえ。合成は \(g(x)\) を f に代入する操作で、掛け算は2つの出力を掛け合わせる操作です。まったく別の演算です。
\((f \circ g)\) と \((g \circ f)\) は等しくなりますか？ 特別な場合に限られます。一般に、関数の合成は交換できません（非可換）。
1次関数も使えますか？ はい。\(x^{2}\) の係数を 0 にすれば、1次関数や定数関数として扱えます。
