Calculadora de Función Compuesta — (f∘g)(x)

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Resultados

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

valor en el x indicado

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

¿Qué es una función compuesta?

Una función compuesta combina dos funciones introduciendo el resultado de una dentro de la otra. La notación $(f\circ g)(x)$, que se lee «f compuesta con g», significa que primero evalúas la función interior $g$ en $x$ y luego aplicas $f$ a ese resultado: $(f\circ g)(x) = f(g(x))$. El orden importa: si compones al revés, $(g\circ f)(x) = g(f(x))$, lo más habitual es obtener un resultado distinto.

Diagrama plano que muestra x entrando en la función g, cuya salida alimenta la función f, produciendo f(g(x)) — Una función compuesta encadena dos funciones: x entra en g, y luego g(x) entra en f.

Cómo usar esta calculadora

Introduce los coeficientes de dos funciones cuadráticas, $f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c$ y $g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h$. Si quieres trabajar con una función lineal como $g(x) = 2x + 1$, basta con poner $d = 0$, $e = 2$, $h = 1$. Para una función constante, deja en 0 los coeficientes de grado superior. Elige el valor de $x$ que vas a evaluar y la calculadora te devuelve $g(x)$, $f(g(x))$, $f(x)$ y $g(f(x))$, de modo que puedas comparar ambas composiciones.

La fórmula, paso a paso

Para calcular $(f\circ g)(x)$: primero halla el valor interior $u = g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h$. Después sustituye $u$ en $f$: $f(u) = a\,u^{2} + b\,u + c$. El valor de la compuesta es, por tanto,

$$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c}$$$$\text{where}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h}$$

La composición inversa $(g\circ f)(x)$ intercambia los papeles y usa $f(x)$ como valor interior.

Diagrama que contrasta f compuesta con g frente a g compuesta con f, mostrando el orden distinto — El orden importa: (f∘g)(x) y (g∘f)(x) suelen ser diferentes.

Ejemplo resuelto

Tomemos $f(x) = x^{2} + 1$ ($a=1$, $b=0$, $c=1$) y $g(x) = 2x + 3$ ($d=0$, $e=2$, $h=3$), evaluadas en $x = 2$. Primero

$$g(2) = 2\cdot 2 + 3 = 7$$

Luego

$$f(7) = 7^{2} + 1 = 50$$

Así que $(f\circ g)(2) = 50$. Para comparar, $f(2) = 5$ y $(g\circ f)(2) = g(5) = 2\cdot 5 + 3 = 13$.

Preguntas frecuentes

¿Es lo mismo $(f\circ g)(x)$ que $f(x)\cdot g(x)$? No. La composición sustituye $g(x)$ dentro de $f$, mientras que la multiplicación multiplica los dos resultados: son operaciones completamente distintas.

¿$(f\circ g)$ es igual a $(g\circ f)$? Solo en casos particulares. En general, la composición de funciones no es conmutativa.

¿Puedo usar funciones lineales? Sí: pon a 0 el coeficiente de $x^{2}$ para obtener una función lineal o constante.

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