합성함수란?
합성함수는 한 함수의 출력값을 다른 함수의 입력값으로 넣어 두 함수를 연결한 것입니다. 기호 \((f \circ g)(x)\)는 "f와 g의 합성" 또는 "f 합성 g"라고 읽으며, 먼저 안쪽 함수 g에 x를 대입해 값을 구한 다음, 그 결과를 다시 f에 넣는다는 뜻입니다. 즉 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)입니다. 여기서 순서가 매우 중요합니다. 반대로 합성한 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)는 대개 전혀 다른 값이 나옵니다.
계산기 사용법
두 이차함수 \(f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\)와 \(g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\)의 계수를 입력하세요. \(g(x) = 2x + 1\)처럼 일차함수를 다루고 싶다면 \(d = 0\), \(e = 2\), \(h = 1\)로 설정하면 됩니다. 상수함수라면 차수가 높은 계수를 0으로 두면 됩니다. 계산할 x 값을 정하면, 계산기가 \(g(x)\), \(f(g(x))\), \(f(x)\), \(g(f(x))\)를 모두 보여 주므로 두 가지 합성 방향을 한눈에 비교할 수 있습니다.
공식 풀이
\((f \circ g)(x)\)를 계산하려면, 먼저 안쪽 값 \(u = g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\)를 구합니다. 그런 다음 이 u를 f에 대입합니다. 즉 \(f(u) = a \cdot u^{2} + b \cdot u + c\)입니다.
$$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c}$$$$\text{where}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h}$$따라서 합성값은 \(a \cdot g(x)^{2} + b \cdot g(x) + c\)가 됩니다. 반대 방향의 합성 \((g \circ f)(x)\)는 역할을 바꿔 \(f(x)\)를 안쪽 값으로 사용합니다.
풀이 예시
\(f(x) = x^{2} + 1\) (a=1, b=0, c=1)과 \(g(x) = 2x + 3\) (d=0, e=2, h=3)을 \(x = 2\)에서 계산해 봅시다. 먼저 \(g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7\)입니다. 그다음 \(f(7) = 7^{2} + 1 = 50\)이므로 \((f \circ g)(2) = 50\)입니다. 비교를 위해 살펴보면, \(f(2) = 5\)이고 \((g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13\)으로 결과가 다릅니다.
자주 묻는 질문
\((f \circ g)(x)\)는 \(f(x) \cdot g(x)\)와 같은 건가요? 아닙니다. 합성은 \(g(x)\)를 f에 대입하는 것이고, 곱셈은 두 함수의 출력값을 곱하는 것입니다. 완전히 다른 연산입니다.
\((f \circ g)\)와 \((g \circ f)\)는 같나요? 특별한 경우에만 같습니다. 일반적으로 함수의 합성은 교환법칙이 성립하지 않습니다.
일차함수도 사용할 수 있나요? 네, \(x^{2}\)의 계수를 0으로 설정하면 일차함수나 상수함수로 쓸 수 있습니다.
