역함수 계산기

계산 입력

결과

역함수 f⁻¹(x)

f⁻¹(x) = (1x − 3) / (-0x + 2)

x와 y를 바꾼 뒤 y에 대해 풀어 얻은 결과

선택한 x에서 계산한 f⁻¹ 값	1
분자의 x 계수 (d)	1
분자의 상수항 (−b)	-3
분모의 x 계수 (−c)	-0
분모의 상수항 (a)	2
판별식 ad − bc (반드시 ≠ 0)	2

역함수 계산기란?

역함수 $f^{-1}(x)$는 함수 $f(x)$가 한 일을 '되돌리는' 함수입니다. 즉 $f(p) = q$이면 $f^{-1}(q) = p$가 성립하죠. 이 계산기는 모든 일차함수 $f(x) = ax + b$는 물론, 더 일반적으로 유리함수(뫼비우스 변환) $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$의 역함수까지 구해 줍니다. 깔끔하게 정리된 $f^{-1}(x)$ 공식을 보여줄 뿐 아니라, 원하는 $x$ 값을 넣으면 그 점에서의 역함수 값도 바로 계산해 줍니다.

사용 방법

함수 $f(x) = \dfrac{a\cdot x + b}{c\cdot x + d}$를 나타내는 네 개의 계수 $a, b, c, d$를 입력하세요. $f(x) = 2x + 3$처럼 단순한 직선이라면 $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$, $d = 1$로 설정하면 됩니다. "x에서 계산" 칸에 값을 입력하면 그 점에서의 역함숫값을 숫자로 얻을 수 있습니다(선택 사항). 결과 패널에는 기호로 정리된 역함수와 함께 각 계수가 함께 표시됩니다.

공식 풀이

$f$의 역함수를 구하려면 먼저 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$로 놓고, $x$와 $y$의 역할을 바꿔 $x = \dfrac{ay + b}{cy + d}$를 만든 뒤 $y$에 대해 풉니다. 양변에 분모를 곱하면 $x(cy + d) = ay + b$가 되고, 정리하면 $y(cx - a) = b - dx$, 다시 정리하면 다음과 같이 됩니다.

$$f^{-1}(x) = \dfrac{\text{d}\,x - \text{b}}{-\text{c}\,x + \text{a}}$$

역함수는 판별식 $ad - bc \neq 0$일 때만 존재합니다. 이 값이 0이면 함수가 상수함수이거나 일대일 함수가 아니어서 역함수를 구할 수 없습니다.