이 계산기의 기능
역 불완전 베타 함수 계산기는 선택한 베타 함수가 목표값 y에 도달하는 적분 상한 x를 찾아줍니다. 정규화하지 않은 불완전 베타 함수 \(B_x(a,b)\)와 정규화(표준화)된 형태인 \(I_x(a,b)\) 중 어느 쪽이든 역산할 수 있습니다. \(I_x(a,b)\)는 0에서 1까지 단조 증가하기 때문에, 이 역연산은 곧 베타 분포의 분위수(백분위점) 연산이자 스튜던트 t, 피셔 F, 이항 분포의 임계값을 구하는 핵심 과정과 정확히 일치합니다.
사용 방법
역산할 함수를 먼저 고르세요. 그런 다음 목표값 y와 두 개의 양수 형상 모수 a, b를 입력합니다. 정규화 모드에서는 y가 0과 1 사이에 있어야 합니다. 정규화하지 않은 모드에서는 y가 0과 완전 베타값 \(B(a,b)\) 사이에 있어야 하며, 이 값은 결과 패널에서 함께 표시됩니다. a와 b는 모두 0보다 엄격히 커야 합니다.
수식과 알고리즘
완전 베타값은 \(B(a,b)=\exp(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b))\)로 계산합니다. 목표값은 정규화 확률 p로 변환되는데, \(I_x\)의 경우 \(p=y\), \(B_x\)의 경우 \(p=y/B(a,b)\)입니다. 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$x = I^{-1}_{\left(\text{y}\,/\,B\right)}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right),\qquad B = \frac{\Gamma(\text{a})\,\Gamma(\text{b})}{\Gamma(\text{a}+\text{b})}$$정방향 \(I_x(a,b)\)는 안정성을 위해 표준적인 대칭 인수 기법을 적용한 연분수(수정된 Lentz 반복법)로 계산하며, 방정식
$$x = I^{-1}_{\text{y}}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad I_x\!\left(\text{a},\text{b}\right) = \text{y}$$는 [0,1] 구간에서 이분법으로 풀어 항상 수렴이 보장됩니다.
계산 예시
정규화 모드에서 \(y = 0.3\), \(a = 1\), \(b = 3\)을 가정해 봅시다. \(a = 1\)일 때는 항등식 \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\)가 성립하므로, \(1-(1-x)^{3}=0.3\)에서 \((1-x)^{3}=0.7\)이 되고, 따라서 \(1-x = 0.887904\), 즉 x ≈ 0.1120959입니다. 같은 y, a, b로 정규화하지 않은 모드를 보면, \(B(1,3)=1/3\)이므로 \(p=0.3/(1/3)=0.9\)가 되어 \((1-x)^{3}=0.1\), 결과적으로 x ≈ 0.5358407이 됩니다.
자주 묻는 질문
\(B_x\)와 \(I_x\)의 차이는 무엇인가요? \(I_x\)는 \(B_x\)를 완전 베타값 \(B(a,b)\)로 나눈 것입니다. 그래서 \(I_x\)는 항상 0에서 1까지의 값을 갖는 반면, \(B_x\)는 0에서 \(B(a,b)\)까지의 값을 갖습니다.
왜 a와 b는 양수여야 하나요? 베타 함수를 정의하는 적분은 \(a>0\)이고 \(b>0\)일 때만 수렴합니다. 그렇지 않으면 감마 함수와 적분 자체가 정의되지 않습니다.
결과는 얼마나 정확한가요? 근 찾기 알고리즘은 배정밀도 수준(유효숫자 약 15자리)까지 수렴하며, 이는 통계 분위수 계산에 충분하고도 남습니다.
