Công cụ này dùng để làm gì
Máy tính hàm beta không hoàn chỉnh nghịch đảo giúp bạn tìm cận trên của tích phân x sao cho hàm beta bạn chọn đạt đúng giá trị mục tiêu y. Bạn có thể nghịch đảo cả hàm beta không hoàn chỉnh chưa chuẩn hóa \(B_x(a,b)\) lẫn phiên bản chuẩn hóa (đã quy chuẩn) \(I_x(a,b)\). Vì \(I_x(a,b)\) tăng đơn điệu từ 0 đến 1, nên phép nghịch đảo này chính là phép tính phân vị (điểm phần trăm) đứng sau phân phối beta, đồng thời là cơ sở để xác định các giá trị tới hạn của phân phối Student t, Fisher F và nhị thức.
Cách sử dụng
Trước tiên hãy chọn Hàm mà bạn muốn nghịch đảo. Sau đó nhập giá trị mục tiêu y cùng hai tham số hình dạng dương a và b. Ở chế độ chuẩn hóa, y phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Ở chế độ chưa chuẩn hóa, y phải nằm trong khoảng từ 0 đến giá trị beta hoàn chỉnh \(B(a,b)\) — con số này sẽ được hiển thị sẵn trong bảng kết quả. Cả a và b đều phải lớn hơn 0.
Công thức và thuật toán
Beta hoàn chỉnh được tính theo công thức $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right).$$ Giá trị mục tiêu được chuyển thành xác suất chuẩn hóa p (với \(I_x\) thì \(p=y\), còn với \(B_x\) thì \(p=y/B(a,b)\)). Hàm thuận \(I_x(a,b)\) được tính bằng phân số liên tục (lặp Lentz cải tiến) kết hợp mẹo đổi đối số đối xứng quen thuộc để đảm bảo độ ổn định, và phương trình $$x = I^{-1}_{\text{y}}\!\left(\text{a},\ \text{b}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad I_x\!\left(\text{a},\text{b}\right) = \text{y}$$ được giải bằng phương pháp chia đôi trên đoạn [0,1] — phương pháp luôn đảm bảo hội tụ.
Ví dụ minh họa
Xét chế độ chuẩn hóa với y = 0,3, a = 1, b = 3. Khi a = 1, ta có đẳng thức \(I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}\), nên \(1-(1-x)^{3}=0{,}3\) dẫn đến \((1-x)^{3}=0{,}7\), suy ra \(1-x = 0{,}887904\) và \(x \approx 0{,}1120959\). Ở chế độ chưa chuẩn hóa với cùng y, a, b: \(B(1,3)=1/3\), nên \(p=0{,}3/(1/3)=0{,}9\), dẫn đến \((1-x)^{3}=0{,}1\) và \(x \approx 0{,}5358407\).
Câu hỏi thường gặp
\(B_x\) và \(I_x\) khác nhau ở điểm nào? \(I_x\) chính là \(B_x\) chia cho beta hoàn chỉnh \(B(a,b)\), do đó \(I_x\) luôn nằm trong khoảng 0 đến 1, còn \(B_x\) nằm trong khoảng 0 đến \(B(a,b)\).
Vì sao a và b phải dương? Tích phân định nghĩa chỉ hội tụ khi \(a>0\) và \(b>0\); ngoài điều kiện này thì hàm Gamma và tích phân không xác định.
Kết quả chính xác đến mức nào? Bộ tìm nghiệm hội tụ đến độ chính xác cỡ số thực kép (~15 chữ số có nghĩa), thừa đủ cho mọi bài toán phân vị thống kê.
