यह कैलकुलेटर क्या करता है
व्युत्क्रम अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन कैलकुलेटर वह ऊपरी समाकलन सीमा x ज्ञात करता है जिस पर चुना गया बीटा फ़ंक्शन किसी लक्ष्य मान y तक पहुँचता है। आप या तो बिना-सामान्यीकृत अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन \(B_x(a,b)\) का व्युत्क्रम निकाल सकते हैं या फिर इसके नियमित (सामान्यीकृत) रूप \(I_x(a,b)\) का। चूँकि \(I_x(a,b)\) एकदिष्ट रूप से 0 से 1 तक बढ़ता है, इसलिए यह व्युत्क्रमण ठीक वही क्वांटाइल (प्रतिशत-बिंदु) संक्रिया है जो बीटा बंटन तथा स्टूडेंट t, फ़िशर F और द्विपद बंटनों के क्रांतिक मानों के पीछे काम करती है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले वह फ़ंक्शन चुनें जिसका व्युत्क्रम आप निकालना चाहते हैं। फिर लक्ष्य मान y और दोनों धनात्मक आकार प्राचल a व b भरें। नियमित मोड में y का मान 0 और 1 के बीच होना चाहिए। बिना-सामान्यीकृत मोड में y का मान 0 और पूर्ण बीटा मान \(B(a,b)\) के बीच होना चाहिए, जिसे परिणाम पैनल आपके लिए दिखा देता है। a और b दोनों कड़ाई से 0 से बड़े होने चाहिए।
सूत्र और एल्गोरिथ्म
पूर्ण बीटा की गणना $$B(a,b)=\exp\!\left(\ln\Gamma(a)+\ln\Gamma(b)-\ln\Gamma(a+b)\right)$$ से होती है। लक्ष्य मान को एक नियमित प्रायिकता p में बदला जाता है (\(I_x\) के लिए \(p=y\), और \(B_x\) के लिए \(p=y/B(a,b)\))। आगे की दिशा वाला \(I_x(a,b)\) एक सतत भिन्न (modified Lentz पुनरावृत्ति) से आकलित किया जाता है, जिसमें स्थायित्व के लिए मानक सममित-तर्क युक्ति अपनाई जाती है, और समीकरण \(I_x(a,b)=p\) को \([0,1]\) पर द्विभाजन (bisection) विधि से हल किया जाता है, जो निश्चित रूप से अभिसरित होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
नियमित मोड में \(y = 0.3\), \(a = 1\), \(b = 3\) लीजिए। \(a = 1\) होने पर सर्वसमिका $$I_x(1,b)=1-(1-x)^{b}$$ लागू होती है, इसलिए \(1-(1-x)^{3}=0.3\) से \((1-x)^{3}=0.7\) मिलता है, अर्थात \(1-x = 0.887904\) और \(x \approx 0.1120959\)। उन्हीं y, a, b के साथ बिना-सामान्यीकृत मोड में: \(B(1,3)=1/3\), अतः \(p=0.3/(1/3)=0.9\), जिससे \((1-x)^{3}=0.1\) और \(x \approx 0.5358407\) प्राप्त होता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
\(B_x\) और \(I_x\) में क्या अंतर है? \(I_x\), \(B_x\) को पूर्ण बीटा \(B(a,b)\) से भाग देने पर मिलता है, इसलिए \(I_x\) का परास सदैव 0 से 1 तक रहता है, जबकि \(B_x\) का परास 0 से \(B(a,b)\) तक होता है।
a और b धनात्मक क्यों होने चाहिए? परिभाषित समाकल केवल \(a>0\) और \(b>0\) के लिए ही अभिसरित होता है; अन्यथा Gamma फ़ंक्शन और समाकल दोनों अपरिभाषित रह जाते हैं।
परिणाम कितना सटीक होता है? मूल-खोजी (root finder) लगभग दोहरी परिशुद्धता (~15 सार्थक अंक) तक अभिसरित होती है, जो सांख्यिकीय क्वांटाइल कार्यों के लिए पर्याप्त से कहीं अधिक है।
