यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आकार पैरामीटर a और b के लिए x की एक श्रेणी पर दो आपस में गहराई से जुड़े विशेष फलनों की टेबल बनाता है। निम्न अपूर्ण बीटा फलन \(B_x(a,b)\) बीटा कर्नेल का 0 से x तक का समाकलन (integral) है, और नियमित अपूर्ण बीटा फलन \(I_x(a,b)\) वही समाकलन है जिसे पूर्ण बीटा फलन \(B(a,b)\) से विभाजित किया गया हो। \(I_x(a,b)\) \(\text{Beta}(a,b)\) बंटन का संचयी बंटन फलन (CDF) भी है और यही द्विपद (binomial), स्टूडेंट t, F तथा कई अन्य बंटनों के CDF का आधार बनता है।
इसका उपयोग कैसे करें
आकार पैरामीटर a और b दर्ज करें (दोनों धनात्मक होने चाहिए)। शुरुआती x चुनें (x का प्रारंभिक मान), एक वृद्धि (Increment) चरण, और पुनरावृत्तियों की संख्या (पंक्तियाँ)। पंक्ति i के लिए \(x = \text{प्रारंभिक } x + i \times \text{चरण}\) होता है। मान [0, 1] के भीतर ही रखे जाते हैं; जैसे ही x 1 तक पहुँचता है, टेबल रुक जाती है। हीरो बॉक्स में पूर्ण बीटा \(B(a,b)\) और अंतिम पंक्ति दिखाई जाती है, जबकि स्क्रॉल होने वाली टेबल प्रत्येक x के साथ \(B_x(a,b)\) और \(I_x(a,b)\) सूचीबद्ध करती है।
सूत्र की व्याख्या
पूर्ण बीटा की गणना स्थिर रूप में $$B(a,b) = \exp\!\left(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b)\right)$$ के द्वारा की जाती है, जिसमें log-gamma फलन के लिए Lanczos सन्निकटन (approximation) का प्रयोग होता है। नियमित मान \(I_x(a,b)\) को क्लासिक Numerical Recipes सतत भिन्न (Lentz के एल्गोरिदम) से निकाला जाता है: $$bt = \exp\!\left(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x)\right)$$ के साथ, जब \(x < \frac{a+1}{a+b+2}\) हो तो हम \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\) का उपयोग करते हैं, अन्यथा \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\)। अंत में \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\)। \(\log(0)\) से बचने के लिए सीमा बिंदु \(I_0 = 0\) और \(I_1 = 1\) को ठीक-ठीक संभाला जाता है।
हल किया गया उदाहरण
a = 1, b = 3 के लिए: $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\,\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333333$$ x = 0.5 पर बंद रूप (closed form) से $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0.125}{3} = 0.291667$$ मिलता है, अतः $$I_x = \frac{0.291667}{0.333333} = 0.875$$ समरूपता जाँच $$I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0.125 = 0.875$$ इसकी पुष्टि करती है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
Bx और Ix में क्या अंतर है? \(B_x(a,b)\) कच्चा समाकलन है; \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) को 0 और 1 के बीच रहने के लिए नियमित किया गया है।
a और b धनात्मक क्यों होने चाहिए? समाकलन और गामा फलन केवल \(a > 0\) तथा \(b > 0\) के लिए ही अभिसरित (converge) होते हैं।
अगर मेरा चरण x को 1 से आगे ले जाए तो क्या होगा? प्रत्येक x को 1 पर सीमित (clamp) कर दिया जाता है और टेबल x = 1 पर रुक जाती है, जहाँ \(B_x(a,b) = B(a,b)\) और \(I_x(a,b) = 1\) होता है।
