不完全 Beta 函數與正規化不完全 Beta 函數數值表計算器

透過 MCP 連接 →

輸入計算

數學公式

結果

完全 Beta 函數 B(a,b)

0.333333

last row x = 1: Bx = 0.333333, Ix = 1

x	Bx(a,b)	Ix(a,b)
0	0	0
0.02	0.01960267	0.058808
0.04	0.03842133	0.115264
0.06	0.056472	0.169416
0.08	0.07377067	0.221312
0.1	0.09033333	0.271
0.12	0.106176	0.318528
0.14	0.12131467	0.363944
0.16	0.13576533	0.407296
0.18	0.149544	0.448632
0.2	0.16266667	0.488
0.22	0.17514933	0.525448
0.24	0.187008	0.561024
0.26	0.19825867	0.594776
0.28	0.20891733	0.626752
0.3	0.219	0.657
0.32	0.22852267	0.685568
0.34	0.23750133	0.712504
0.36	0.245952	0.737856
0.38	0.25389067	0.761672
0.4	0.26133333	0.784
0.42	0.268296	0.804888
0.44	0.27479467	0.824384
0.46	0.28084533	0.842536
0.48	0.286464	0.859392
0.5	0.29166667	0.875
0.52	0.29646933	0.889408
0.54	0.300888	0.902664
0.56	0.30493867	0.914816
0.58	0.30863733	0.925912
0.6	0.312	0.936
0.62	0.31504267	0.945128
0.64	0.31778133	0.953344
0.66	0.320232	0.960696
0.68	0.32241067	0.967232
0.7	0.32433333	0.973
0.72	0.326016	0.978048
0.74	0.32747467	0.982424
0.76	0.32872533	0.986176
0.78	0.329784	0.989352
0.8	0.33066667	0.992
0.82	0.33138933	0.994168
0.84	0.331968	0.995904
0.86	0.33241867	0.997256
0.88	0.33275733	0.998272
0.9	0.333	0.999
0.92	0.33316267	0.999488
0.94	0.33326133	0.999784
0.96	0.333312	0.999936
0.98	0.33333067	0.999992
1	0.33333333	1

這個計算器的功能

這個工具會針對指定的形狀參數 a 與 b，在一段 x 區間內製表列出兩個關係密切的特殊函數。下不完全 Beta 函數 Bx(a,b) 是 Beta 被積函數從 0 積分到 x 的結果；正規化不完全 Beta 函數 Ix(a,b) 則是把該積分除以完全 Beta 函數 B(a,b)。Ix(a,b) 同時也是 Beta(a,b) 分布的累積分布函數（CDF），並且是二項分布、Student t 分布、F 分布等多種分布 CDF 的核心基礎。

使用方式

輸入形狀參數 a 與 b（兩者都必須為正數）。設定起始的 x 值（x 的初始值）、遞增量，以及重複次數（也就是列數）。第 i 列所用的 x = 初始 x + i × 遞增量。所有數值都會被限制在 [0, 1] 之間；當 x 達到 1 時，表格即停止。上方的重點區會顯示完全 Beta 值 B(a,b) 與最後一列的結果，而可捲動的表格則逐一列出每個 x 對應的 Bx(a,b) 與 Ix(a,b)。

公式說明

完全 Beta 採用數值上穩定的方式計算：B(a,b) = exp(lgamma(a) + lgamma(b) − lgamma(a+b))，其中對數 Gamma 函數使用 Lanczos 近似法。正規化值 Ix(a,b) 則以經典的 Numerical Recipes 連分數法（Lentz 演算法）求得：令 bt = exp(lgamma(a+b) − lgamma(a) − lgamma(b) + a·ln x + b·ln(1−x))，當 x < (a+1)/(a+b+2) 時使用 Ix = bt·betacf(a,b,x)/a，否則使用 Ix = 1 − bt·betacf(b,a,1−x)/b。最後再以 Bx(a,b) = Ix(a,b) × B(a,b) 得到結果。端點 I0 = 0 與 I1 = 1 會直接以精確值處理，以避免出現 log(0)。

正則化不完全貝塔函數的 S 形曲線，從 0 增加到 1 — 正則化不完全貝塔函數 I_x(a,b) 隨著 x 從 0 變到 1 單調地從 0 增加到 1。

貝塔密度曲線，從 0 到 x 的區域以陰影標出，展示不完全貝塔積分 — 下不完全貝塔函數是被積函數下方從 0 到 x 的陰影面積。

實例演算

以 a = 1、b = 3 為例：B(1,3) = Γ(1)Γ(3)/Γ(4) = (1·2)/6 = 1/3 ≈ 0.333333。在 x = 0.5 時，封閉形式給出 Bx = (1 − (1−x)^3)/3 = (1 − 0.125)/3 = 0.291667，因此 Ix = 0.291667 / 0.333333 = 0.875。再用對稱性檢驗 Ix(1,3) = 1 − (1−x)^3 = 1 − 0.125 = 0.875，結果完全吻合。