Ce que fait ce calculateur
Cet outil dresse le tableau de deux fonctions spéciales étroitement liées sur une plage de x, pour des paramètres de forme a et b. La fonction bêta incomplète inférieure \(B_x(a,b)\) correspond à l'intégrale du noyau bêta de 0 à x, tandis que la fonction bêta incomplète régularisée \(I_x(a,b)\) est cette même intégrale divisée par la fonction bêta complète \(B(a,b)\). \(I_x(a,b)\) est aussi la fonction de répartition (CDF) de la loi Bêta(a,b) et sous-tend les CDF des lois binomiale, de Student t, de Fisher F et de bien d'autres lois.
Mode d'emploi
Saisissez les paramètres de forme a et b (tous deux strictement positifs). Choisissez une valeur de départ pour x (la Valeur initiale de x), un pas (Incrément) et le Nombre de répétitions (lignes). La ligne i utilise \(x = x_{\text{initial}} + i \times \text{pas}\). Les valeurs restent confinées dans [0, 1] ; dès que x atteint 1, le tableau s'arrête. L'encart de résultat affiche la bêta complète \(B(a,b)\) ainsi que la dernière ligne, tandis que le tableau déroulant liste chaque x avec \(B_x(a,b)\) et \(I_x(a,b)\).
La formule expliquée
La bêta complète est calculée de façon stable par $$B(a,b) = \exp\left(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b)\right),$$ au moyen d'une approximation de Lanczos pour le logarithme de la fonction gamma. La valeur régularisée \(I_x(a,b)\) est évaluée à l'aide de la fraction continue classique de Numerical Recipes (algorithme de Lentz) : avec \(bt = \exp\left(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x)\right)\), on pose \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\) lorsque \(x < (a+1)/(a+b+2)\), et sinon \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\). Enfin, \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). Les bornes \(I_0 = 0\) et \(I_1 = 1\) sont traitées de manière exacte afin d'éviter \(\log(0)\).
Exemple détaillé
Pour a = 1 et b = 3 : $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333.$$ En x = 0,5, la forme close donne $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0{,}125}{3} = 0{,}291667,$$ d'où \(I_x = 0{,}291667 / 0{,}333333 = 0{,}875\). La vérification par symétrie \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0{,}125 = 0{,}875\) le confirme.
FAQ
Quelle est la différence entre Bx et Ix ? \(B_x(a,b)\) est l'intégrale brute ; \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) est normalisée pour rester comprise entre 0 et 1.
Pourquoi a et b doivent-ils être positifs ? L'intégrale et les fonctions gamma ne convergent que pour \(a > 0\) et \(b > 0\).
Que se passe-t-il si mon pas fait dépasser x au-delà de 1 ? Chaque x est ramené à 1 et le tableau s'arrête à x = 1, où \(B_x(a,b) = B(a,b)\) et \(I_x(a,b) = 1\).
