Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula dos funciones especiales estrechamente relacionadas en un rango de x para los parámetros de forma a y b. La función beta incompleta inferior \(B_x(a,b)\) es la integral del núcleo beta entre 0 y x, mientras que la función beta incompleta regularizada \(I_x(a,b)\) es esa misma integral dividida por la función beta completa \(B(a,b)\). \(I_x(a,b)\) es además la función de distribución acumulada de la distribución Beta(a,b) y constituye la base de las funciones de distribución de las distribuciones binomial, t de Student, F y muchas otras.
Cómo usarla
Introduce los parámetros de forma a y b (ambos deben ser positivos). Elige un valor inicial de x (el Valor inicial de x), un paso de Incremento y el Número de repeticiones (filas). La fila i utiliza \(x = x_{\text{inicial}} + i \times \text{paso}\). Los valores se mantienen dentro del intervalo [0, 1]; en cuanto x alcanza 1, la tabla se detiene. El recuadro destacado muestra la beta completa \(B(a,b)\) y la última fila, mientras que la tabla desplazable enumera cada x con sus valores de \(B_x(a,b)\) e \(I_x(a,b)\).
La fórmula explicada
La beta completa se calcula de forma numéricamente estable como $$B(a,b) = \exp\bigl(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b)\bigr),$$ empleando una aproximación de Lanczos para el logaritmo de la función gamma. El valor regularizado \(I_x(a,b)\) se evalúa con la clásica fracción continua de Numerical Recipes (algoritmo de Lentz): partiendo de $$bt = \exp\bigl(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x)\bigr),$$ usamos \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\) cuando \(x < (a+1)/(a+b+2)\), y en caso contrario \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\). Por último, \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\). Los extremos \(I_0 = 0\) e \(I_1 = 1\) se tratan de forma exacta para evitar el cálculo de \(\log(0)\).
Ejemplo resuelto
Para a = 1, b = 3: $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333.$$ En x = 0,5 la forma cerrada da $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0{,}125}{3} = 0{,}291667,$$ de modo que $$I_x = \frac{0{,}291667}{0{,}333333} = 0{,}875.$$ La comprobación por simetría $$I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0{,}125 = 0{,}875$$ lo confirma.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre Bx e Ix? \(B_x(a,b)\) es la integral en bruto; \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\) está normalizada para situarse entre 0 y 1.
¿Por qué a y b deben ser positivos? Tanto la integral como las funciones gamma solo convergen cuando \(a > 0\) y \(b > 0\).
¿Y si mi paso lleva a x más allá de 1? Cada x se acota a 1 y la tabla se detiene en x = 1, donde \(B_x(a,b) = B(a,b)\) e \(I_x(a,b) = 1\).
