이 계산기의 기능
이 도구는 서로 밀접하게 연관된 두 가지 특수 함수를 형상 모수 a, b에 대해 x 구간에 걸쳐 표로 만들어 줍니다. 하부 불완전 베타 함수 \(B_x(a,b)\)는 베타 커널을 0부터 x까지 적분한 값이고, 정규화 불완전 베타 함수 \(I_x(a,b)\)는 그 적분값을 완전 베타 함수 \(B(a,b)\)로 나눈 값입니다. \(I_x(a,b)\)는 Beta(a,b) 분포의 누적분포함수(CDF)이기도 하며, 이항분포, 스튜던트 t분포, F분포를 비롯한 여러 분포의 CDF의 기반이 됩니다.
사용 방법
형상 모수 a와 b를 입력하세요(두 값 모두 양수여야 합니다). 시작 x값(x의 초기값), 증분 간격, 그리고 반복 횟수(행 수)를 지정합니다. i번째 행은 \(x = \text{초기값} + i \times \text{증분}\)으로 계산됩니다. 값은 [0, 1] 범위 안으로 유지되며, x가 1에 도달하면 표가 멈춥니다. 상단 강조 영역에는 완전 베타 \(B(a,b)\)와 마지막 행이 표시되고, 스크롤 가능한 표에는 모든 x에 대한 \(B_x(a,b)\)와 \(I_x(a,b)\)가 나열됩니다.
공식 설명
완전 베타는 로그 감마 함수에 Lanczos 근사를 사용해 $$B(a,b) = \exp(\operatorname{lgamma}(a) + \operatorname{lgamma}(b) - \operatorname{lgamma}(a+b))$$로 수치적으로 안정되게 계산합니다. 정규화 값 \(I_x(a,b)\)는 고전적인 Numerical Recipes의 연분수(렌츠 알고리즘)로 구합니다. $$bt = \exp(\operatorname{lgamma}(a+b) - \operatorname{lgamma}(a) - \operatorname{lgamma}(b) + a\cdot\ln x + b\cdot\ln(1-x))$$로 두고, \(x < \frac{a+1}{a+b+2}\)일 때는 \(I_x = bt\cdot\operatorname{betacf}(a,b,x)/a\), 그렇지 않으면 \(I_x = 1 - bt\cdot\operatorname{betacf}(b,a,1-x)/b\)를 사용합니다. 마지막으로 \(B_x(a,b) = I_x(a,b) \times B(a,b)\)가 됩니다. 끝점인 \(I_0 = 0\)과 \(I_1 = 1\)은 \(\log(0)\)을 피하기 위해 정확하게 처리됩니다.
계산 예시
a = 1, b = 3인 경우: $$B(1,3) = \frac{\Gamma(1)\Gamma(3)}{\Gamma(4)} = \frac{1\cdot 2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333333$$입니다. x = 0.5에서 닫힌 형태로 계산하면 $$B_x = \frac{1 - (1-x)^3}{3} = \frac{1 - 0.125}{3} = 0.291667$$이므로, \(I_x = 0.291667 / 0.333333 = 0.875\)가 됩니다. 대칭성 검산 \(I_x(1,3) = 1 - (1-x)^3 = 1 - 0.125 = 0.875\)로 이를 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
Bx와 Ix의 차이는 무엇인가요? \(B_x(a,b)\)는 정규화되지 않은 원래 적분값이고, \(I_x(a,b) = B_x(a,b)/B(a,b)\)는 0과 1 사이에 놓이도록 정규화한 값입니다.
a와 b는 왜 양수여야 하나요? 적분과 감마 함수는 \(a > 0\), \(b > 0\)일 때만 수렴하기 때문입니다.
증분 때문에 x가 1을 넘어가면 어떻게 되나요? 각 x는 1로 고정되며, 표는 x = 1에서 멈춥니다. 이때 \(B_x(a,b) = B(a,b)\)이고 \(I_x(a,b) = 1\)입니다.
