이 계산기의 기능
이 도구는 하부 불완전 베타 함수(lower incomplete beta function)를 계산합니다. 이 함수는 정적분 \(B_x(a,b) = \int_{0}^{x} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\) 로 정의됩니다. 피적분 함수 \(t^{a-1}(1-t)^{b-1}\)은 베타 분포 및 베타-이항 분포의 핵심(커널)이기도 합니다. 적분 상한 \(x = 1\)(하한 0)인 경우, 결과는 완전 베타 함수(complete beta function) \(B(a,b) = \Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)\)와 같아집니다.
사용 방법
두 개의 형상 모수(shape parameter), 즉 a(변수 a)와 b를 입력하세요. 둘 다 양수여야 합니다. 적분 구간의 하한과 상한 x(보통 0과 1 사이)를 설정합니다. 분할 수 n, 즉 가우스-르장드르 노드의 개수를 선택하세요. n이 클수록 정확도가 높아지며, 매끄러운 피적분 함수라면 n = 20 정도면 충분합니다. 구간을 [0, 1]로 그대로 두면 완전 베타 함수를 얻을 수 있습니다.
공식 설명
이 적분은 가우스-르장드르 구적법(Gauss-Legendre quadrature)으로 계산됩니다. 구간 [-1, 1]에서의 표준 노드 \(x_i\)와 가중치 \(w_i\)는 르장드르 다항식 \(P_n\)의 근으로, 뉴턴 방법(Newton's method)을 통해 구한 뒤 선택한 구간 [c, d]로 선형 사상됩니다: $$t_i = \frac{d-c}{2}\,x_i + \frac{d+c}{2}.$$ 그러면 적분은 \(\frac{d-c}{2}\sum w_i\, f(t_i)\)로 근사됩니다. 가우스-르장드르 구적법은 \(2n-1\)차까지의 다항식을 정확히 적분하므로, 매끄러운 피적분 함수에 대해 매우 빠르게 수렴합니다.
계산 예시
a = 3, b = 5, 구간 [0, 1], n = 20인 경우 결과는 완전 베타 함수 $$B(3,5) = \frac{2! \cdot 4!}{7!} = \frac{48}{5040} = 0.0095238095\ldots = \frac{1}{105}$$가 됩니다. 이 구적법은 이 값을 배정밀도(double precision) 수준으로 정확하게 재현합니다.
자주 묻는 질문
\(0 < a < 1\) 또는 \(0 < b < 1\)이면 어떻게 되나요? 이 경우 피적분 함수가 끝점에서 적분 가능한 특이점(integrable singularity)을 가집니다. 가우스-르장드르 노드는 구간 내부에 위치하므로 결과는 유한하게 유지되지만 정확도가 떨어집니다. 이럴 때는 n을 늘리세요.
정규화 불완전 베타 함수 \(I_x(a,b)\)는 어떻게 구하나요? 이 결과를 완전 베타 함수로 나누면 됩니다(구간을 [0, 1]로 설정해 완전 베타 함수를 계산하세요).
결과가 음수로 나오는 이유는 무엇인가요? 적분 상한이 하한보다 작으면 부호가 있는 적분값이 음수가 되며, 이는 수학적으로 올바른 결과입니다.
