감마 함수란?
감마 함수는 \(\Gamma(a)\)로 표기하며, 팩토리얼을 실수(그리고 복소수) 영역까지 연속적으로 확장한 함수입니다. 양의 정수 n에 대해서는 \(\Gamma(n) = (n-1)!\) 이 성립하므로, 예를 들어 \(\Gamma(5) = 4! = 24\) 가 됩니다. 실수부가 양수인 실수 a에 대해서는 다음과 같은 이상적분으로 정의됩니다: $$\Gamma\!\left(\text{a}\right) = \int_{0}^{\infty} t^{\,\text{a} - 1}\, e^{-t}\, dt$$ 이 계산기는 입력한 임의의 실수 a에 대해 \(\Gamma(a)\) 값을 돌려줍니다.
계산기 사용 방법
"변수 a" 칸에 실수 인수 a를 입력하고, 소수점 아래 몇 자리까지 표시할지 선택하면 됩니다. 피적분 함수 \(t^{a-1}e^{-t}\)와 적분 구간 0부터 무한대까지는 정의에 따라 고정되어 있으므로, 사용자는 a 값만 넣으면 됩니다. 계산기는 \(\Gamma(a)\)를 출력합니다. 만약 a = 0 또는 음의 정수를 입력하면, 그 지점에서 감마 함수가 극(pole)을 가지므로 "정의되지 않음"이라고 표시됩니다.
공식 풀이
이 계산기는 매번 수치적으로 적분하는 대신 Lanczos 근사(g = 7, 9개의 계수)를 사용합니다. 이 방법은 적분값을 약 15개의 유효 숫자까지 재현합니다. \(a \le 0.5\) 인 경우에는 먼저 반사 공식 \(\Gamma(a)\cdot\Gamma(1-a) = \pi/\sin(\pi a)\)를 적용합니다. 이 공식은 인수를 수치적으로 안정적인 영역으로 옮겨 주며, 정수가 아닌 음의 인수에서 나타나는 유한한(때로는 음수인) 값까지 정확히 계산해 줍니다.
풀이 예제
a = 3.5인 경우를 살펴봅시다. 점화식 \(\Gamma(a) = (a-1)\cdot\Gamma(a-1)\)을 사용하면: $$\Gamma(3.5) = 2.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot \Gamma(0.5) = 1.875 \cdot \sqrt{\pi} = 1.875 \cdot 1.7724538509 \approx 3.3233509704$$ 계산기도 동일한 값을 돌려줍니다.
자주 묻는 질문
\(\Gamma(0)\)은 왜 정의되지 않나요? 적분이 발산하며, 이 함수는 0과 모든 음의 정수에서 단순극(simple pole)을 가지므로 값이 무한대가 됩니다.
\(\Gamma(0.5)\)는 얼마인가요? 정확히 \(\sqrt{\pi} \approx 1.7724538509\) 입니다. 가우스 적분과 연결된 유명한 결과입니다.
결과는 얼마나 정확한가요? Lanczos 근사는 일반적인 인수에 대해 약 15자리까지 정확하며, 거의 모든 용도에서 차고 넘치는 정밀도입니다.
