계산 입력

결과

f(x)

2.23606797749979

converged at n = 40 (14 significant digits requested)

n	부분 근사값 f_n(x)
1	3
2	2
3	2.3333333333333335
4	2.2
5	2.25
6	2.230769230769231
7	2.238095238095238
8	2.235294117647059
9	2.2363636363636363
10	2.235955056179775
11	2.236111111111111
12	2.236051502145923
13	2.236074270557029
14	2.236065573770492
15	2.236068895643364
16	2.2360676268002506
17	2.236068111455108
18	2.236067926333413
19	2.2360679970436066
20	2.236067970034716
21	2.2360679803511943
22	2.23606797641065
23	2.236067977915804
24	2.2360679773408862
25	2.2360679775604853
26	2.236067977476606
27	2.236067977508645
28	2.236067977496407
29	2.2360679775010817
30	2.2360679774992964

이 계산기의 기능

이 도구는 $f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}}$ 형태의 일반화 연분수(generalized continued fraction)를 계산합니다. 가장 큰 특징은 첫 항 $b_0$, n번째 분자 $a_n$, n번째 분모 $b_n$을 변수 $x$와 항 번호 $n$에 의존하는 수식으로 직접 입력할 수 있다는 점입니다. 입력한 $x$ 값을 대입한 뒤 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 순서로 각 항을 생성하고, 수렴값 $f(x)$와 함께 부분 근사값 $f_n(x)$을 표로 정리해 보여줍니다. 순수한 수치해석 도구이므로 특정 국가의 규정이나 단위와는 무관하게 어디서나 동일하게 적용됩니다.

사용 방법

세 개의 수식과 $x$ 값을 입력하세요. 각 수식에는 기호 $x$와 $n$, 연산자 + - * / ^(거듭제곱), 함수 sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, 그리고 상수 pi와 e를 사용할 수 있습니다. 유효숫자 자릿수를 선택하면 결과 표시 방식을 조절할 수 있는데, 이는 수렴 허용오차와 표시 형식에만 영향을 줄 뿐 실제 계산 자체는 바뀌지 않습니다. 결과 창에는 $f(x)$ 값과 수렴이 이루어진 항 번호 $n$이 표시되며, 표에서는 초기 근사값들이 점차 한 값으로 모여드는 과정을 확인할 수 있습니다.

공식 풀이

근사값은 전진 기본 점화식(forward fundamental recurrence)으로 계산됩니다. $A_{-1} = 1$, $A_0 = b_0$, $B_{-1} = 0$, $B_0 = 1$에서 출발하여, 각 단계마다 $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}, \quad B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2}$$로 갱신하고, n번째 근사값은 $f_n = A_n / B_n$으로 구합니다. 연속한 두 근사값이 요청한 정밀도까지 일치하거나, 항이 1000개에 도달하면 반복을 멈춥니다.

항 b0, a1, b1, a2, b2를 가진 일반화 연분수의 중첩된 계단 다이어그램 — 일반화 연분수 $f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cdots}}$의 중첩 구조.

예제 풀이

기본값인 $b_0 = 1$, $a_n = x - 1$, $b_n = 2$를 그대로 두고 $x = 5$로 계산해 봅시다. 이것은 $\sqrt{x}$에 대한 고전적인 연분수입니다: $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}.$$ $x = 5$일 때 모든 분자는 4, 모든 분모는 2가 됩니다. 초기 근사값은 $f_1 = 3$, $f_2 = 2$, $f_3 = 2.3333\ldots$, $f_4 = 2.2$이며, 모두 $\sqrt{5} = 2.2360679774997896$으로 수렴합니다. 고정점 $t = 2 + \frac{4}{t}$는 $t = 1 + \sqrt{5}$를 만족하므로 $f = 1 + \frac{4}{1+\sqrt{5}} = \sqrt{5}$가 됩니다.

연속된 수렴값이 진동하며 수평 극한선으로 수렴하는 선 그래프 — 부분 수렴값이 극한의 위아래로 지그재그하며 수렴값으로 좁혀진다.

자주 묻는 질문

$a_n$과 $b_n$이 항 번호 $n$에 의존해도 되나요? 됩니다. 예를 들어 함수 $\frac{x}{e^x - 1}$은 $b_0 = 1 - \frac{x}{2}$, $a_n = \frac{x^2}{4}$, $b_n = 2n + 1$로 표현되며, 여기서 $b_n$은 $n$이 커질수록 함께 증가합니다.

분모가 0이 되면 어떻게 되나요? 계산기는 아주 작은 입실론(epsilon)을 대입해 계산을 이어가며, 이는 수정 렌츠(Lentz) 알고리즘과 동일한 방식입니다. 끝까지 수렴하지 않으면 별도로 알려 드립니다.

왜 1000개 항에서 멈추나요? 안전을 위한 상한값입니다. 그때까지도 수렴하지 않으면 마지막 근사값을 경고와 함께 반환합니다.

함수형 연분수 평가 계산기