Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa una fracción continua generalizada de la forma $$f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}}$$ Su rasgo distintivo es que el término inicial \(b_0\), el n-ésimo numerador \(a_n\) y el n-ésimo denominador \(b_n\) se introducen como expresiones matemáticas que pueden depender de la variable \(x\) y del índice del término \(n\). La calculadora sustituye tu valor de \(x\), genera los términos para \(n = 1, 2, 3, \ldots\) y devuelve el valor convergente \(f(x)\) junto con una tabla de los convergentes parciales \(f_n(x)\). Es una utilidad de análisis numérico puro y de aplicación universal: no intervienen reglas regionales ni unidades de ningún tipo.
Cómo usarla
Introduce tres expresiones y un valor de \(x\). Cada expresión puede emplear los símbolos \(x\) y \(n\), los operadores + - * / ^ (potencia) y las funciones sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, además de las constantes pi y e. Elige el número de cifras significativas para controlar cómo se muestra el resultado (esto solo afecta a la tolerancia de convergencia y a la presentación, no a las matemáticas subyacentes). El cuadro de resultados muestra \(f(x)\) y el índice \(n\) en el que se alcanzó la convergencia; la tabla recoge los primeros convergentes para que veas cómo el valor se va estabilizando.
La fórmula explicada
Los convergentes se obtienen mediante la recurrencia fundamental progresiva. Partiendo de \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\), cada nuevo nivel calcula $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$$ y $$B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2},$$ y el n-ésimo convergente es \(f_n = A_n / B_n\). La iteración se detiene en cuanto dos convergentes sucesivos coinciden con la precisión solicitada, o tras un límite estricto de 1000 términos.
Ejemplo resuelto
Usa los valores por defecto \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\), con \(x = 5\). Esta es la clásica fracción continua de \(\sqrt{x}\): $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}$$ Con \(x = 5\), cada numerador vale \(4\) y cada denominador vale \(2\). Los primeros convergentes son \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2{,}3333\ldots\), \(f_4 = 2{,}2\), y todos convergen a \(\sqrt{5} = 2{,}2360679774997896\). El punto fijo \(t = 2 + 4/t\) resuelve \(t = 1 + \sqrt{5}\), de modo que \(f = 1 + 4/(1+\sqrt{5}) = \sqrt{5}\).
Preguntas frecuentes
¿Pueden \(a_n\) y \(b_n\) depender del índice \(n\)? Sí. Por ejemplo, la función \(x/(e^x - 1)\) usa \(b_0 = 1 - x/2\), \(a_n = x^2/4\), \(b_n = 2n + 1\), donde \(b_n\) crece con \(n\).
¿Qué ocurre si un denominador se hace cero? El evaluador sustituye ese valor por un epsilon diminuto para seguir adelante, imitando el método de Lentz modificado; si la falta de convergencia persiste, se avisa.
¿Por qué se detiene en 1000 términos? Es el límite de seguridad. Si la fracción no ha convergido para entonces, se devuelve el último convergente con una advertencia.
