यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह उपकरण \(f(x) = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cdots}}}\) रूप के एक सामान्यीकृत सतत भिन्न (generalized continued fraction) का मूल्यांकन करता है। इसकी ख़ासियत यह है कि प्रारंभिक पद \(b_0\), \(n\)-वाँ अंश \(a_n\) और \(n\)-वाँ हर \(b_n\) आप गणितीय व्यंजकों के रूप में देते हैं, जो चर \(x\) और चलते हुए पद-सूचकांक \(n\) पर निर्भर कर सकते हैं। कैलकुलेटर आपके दिए गए \(x\) को प्रतिस्थापित करता है, \(n = 1, 2, 3, \ldots\) के लिए पद बनाता है, और अभिसरित मान \(f(x)\) के साथ-साथ आंशिक अभिसारी \(f_n(x)\) की एक तालिका भी देता है। यह विशुद्ध रूप से संख्यात्मक-विश्लेषण का उपकरण है और सर्वत्र समान रूप से लागू होता है — इसमें कोई क्षेत्रीय नियम या इकाइयाँ शामिल नहीं हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
तीन व्यंजक और \(x\) का एक मान दर्ज करें। हर व्यंजक में आप \(x\) और \(n\) प्रतीक, संक्रियक \(+\) \(-\) \(*\) \(/\) \(\hat{}\) (घात), तथा फ़ंक्शन sqrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, और स्थिरांक pi व e का उपयोग कर सकते हैं। उत्तर किस तरह प्रदर्शित हो, यह नियंत्रित करने के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें (इससे केवल अभिसरण सहनशीलता और प्रदर्शन बदलता है, मूल गणित नहीं)। परिणाम बॉक्स में \(f(x)\) और वह सूचकांक \(n\) दिखता है जिस पर अभिसरण पहुँचा; तालिका में शुरुआती अभिसारी सूचीबद्ध होते हैं ताकि आप मान को स्थिर होते हुए देख सकें।
सूत्र की व्याख्या
अभिसारी अग्रगामी मूल पुनरावृत्ति (forward fundamental recurrence) से बनते हैं। \(A_{-1} = 1\), \(A_0 = b_0\), \(B_{-1} = 0\), \(B_0 = 1\) से शुरू करते हुए, हर नया स्तर $$A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}$$ और $$B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2}$$ तय करता है, और \(n\)-वाँ अभिसारी \(f_n = A_n / B_n\) होता है। पुनरावृत्ति तब रुकती है जब लगातार दो अभिसारी अनुरोधित परिशुद्धता तक मेल खा जाएँ, या अधिकतम 1000 पदों की सीमा के बाद।
हल किया हुआ उदाहरण
डिफ़ॉल्ट मान \(b_0 = 1\), \(a_n = x - 1\), \(b_n = 2\) और \(x = 5\) का उपयोग करें। यह \(\sqrt{x}\) के लिए शास्त्रीय सतत भिन्न है: $$\sqrt{x} = 1 + \cfrac{x-1}{2 + \cfrac{x-1}{2 + \cdots}}$$ \(x = 5\) पर हर अंश \(4\) और हर हर \(2\) हो जाता है। शुरुआती अभिसारी हैं \(f_1 = 3\), \(f_2 = 2\), \(f_3 = 2.3333\ldots\), \(f_4 = 2.2\), जो सभी \(\sqrt{5} = 2.2360679774997896\) की ओर अभिसरित होते हैं। स्थिर बिंदु \(t = 2 + 4/t\) का हल \(t = 1 + \sqrt{5}\) है, जिससे \(f = 1 + \cfrac{4}{1+\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) मिलता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(a_n\) और \(b_n\) सूचकांक \(n\) पर निर्भर कर सकते हैं? हाँ। उदाहरण के लिए फ़ंक्शन \(x/(e^x - 1)\) में \(b_0 = 1 - x/2\), \(a_n = x^2/4\), \(b_n = 2n + 1\) होता है, जहाँ \(b_n\), \(n\) के साथ बढ़ता है।
अगर कोई हर शून्य हो जाए तो? मूल्यांकनकर्ता आगे बढ़ते रहने के लिए एक बेहद छोटा एप्सिलॉन प्रतिस्थापित कर देता है, जो संशोधित लेंट्ज़ (Lentz) विधि की तरह है; लगातार अभिसरण न होने पर चेतावनी दी जाती है।
यह 1000 पदों पर क्यों रुक जाता है? यह सुरक्षा सीमा है। अगर तब तक भिन्न अभिसरित नहीं होता, तो अंतिम अभिसारी एक चेतावनी के साथ लौटाया जाता है।
