यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल छह में से किसी भी त्रिकोणमितीय फलन — sine, cosine, tangent, cotangent, secant और cosecant — का मान किसी एक कोण पर निकालता है। कोण को आप कई तरह से डाल सकते हैं: पाई रेडियन के गुणक के रूप में (यह मूल पेज का डिफ़ॉल्ट तरीका है), सामान्य रेडियन में, डिग्री में, या ग्रेडियन में। यह पूरी तरह गणित का टूल है — किसी देश या किसी खास नियम-कानून से इसका कोई संबंध नहीं, इसलिए यह हर जगह एक जैसा काम करता है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
ड्रॉपडाउन से एक फलन चुनें, कोण का मान टाइप करें, और कोण की इकाई चुनें। "पाई रेडियन" मोड में आपका डाला गया मान पाई से गुणा हो जाता है — यानी 0.5 डालने का मतलब है \(0.5\pi = \pi/2\)। कैलकुलेटर आपको फलन का मान तो देता ही है, साथ ही कोण को रेडियन और डिग्री दोनों में बदलकर भी दिखाता है ताकि आप रूपांतरण खुद जाँच सकें।
फॉर्मूला समझें
हर फलन रेडियन कोण थीटा (theta) के sine और cosine से ही निकाला जाता है। सबसे पहले कोण को सामान्य (normalize) किया जाता है:
$$\theta = \text{कोण का मान} \times \text{गुणांक}$$
जहाँ गुणांक पाई रेडियन, रेडियन, डिग्री और ग्रेडियन के लिए क्रमशः \(\pi\), \(1\), \(\pi/180\) और \(\pi/200\) होता है। फिर sin और cos की गणना होती है, और इनसे
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$
निकलते हैं। जहाँ हर (denominator) शून्य होता है, वहाँ फलन में एक ऊर्ध्वाधर एसिम्प्टोट (vertical asymptote) होता है और उसे "अपरिभाषित" बताया जाता है। चूँकि फ्लोटिंग-पॉइंट sin और cos लगभग कभी भी ठीक-ठीक शून्य नहीं देते, इसलिए इन एसिम्प्टोट को साफ़-साफ़ पकड़ने के लिए \(10^{-12}\) की एक सहनशीलता (tolerance) का उपयोग किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आप Cosine चुनते हैं, कोण मान 0.5, और इकाई "पाई रेडियन"। तब
$$\theta = 0.5 \times \pi = 1.570796 \text{ रेडियन} = 90^\circ$$
और \(\cos(90^\circ) = 0\)। फलन का मान 0 दिखेगा। अब इसी कोण पर फलन बदलकर Tangent कर दें — यहाँ \(\cos(\theta)\) शून्य है, इसलिए टूल "अपरिभाषित (एसिम्प्टोट)" बताएगा, जो ठीक उसी ऊर्ध्वाधर रेखा से मेल खाता है जो आपको tangent के ग्राफ़ पर \(\pi/2\) पर दिखती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यह "अपरिभाषित" क्यों दिखाता है? Tangent और secant वहाँ अनंत हो जाते हैं जहाँ cosine शून्य होता है (\(\theta = \pi/2 + k\cdot\pi\)); cotangent और cosecant वहाँ अनंत होते हैं जहाँ sine शून्य होता है (\(\theta = k\cdot\pi\))। ठीक इन्हीं कोणों पर फलन का मान अनंत होता है, इसलिए हम इसे एसिम्प्टोट के रूप में दिखाते हैं।
परिणाम किस सीमा में रहते हैं? Sine और cosine हमेशा \([-1, 1]\) के बीच रहते हैं; secant और cosecant का परिमाण हमेशा कम से कम 1 होता है; tangent और cotangent कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं।
क्या मैं ऋणात्मक कोण डाल सकता हूँ? हाँ। मानक ग्राफ़ \(-2\pi\) से \(2\pi\) तक बनाए जाते हैं, और यह कैलकुलेटर सभी समर्थित इकाइयों में किसी भी वास्तविक कोण को स्वीकार करता है।
