ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب قيمة أيٍّ من الدوال المثلثية الست — الجيب (sin) وجيب التمام (cos) والظل (tan) وظل التمام (cot) والقاطع (sec) وقاطع التمام (csc) — عند زاوية واحدة. يمكنك إدخال الزاوية كمضاعفٍ لـ \(\pi\) راديان (وهي الصيغة الأصلية المعتمدة في الأداة)، أو بوحدة الراديان العادي، أو بالدرجات، أو بالغراد. إنها أداة رياضية محضة لا ترتبط بأي دولة أو نظام قانوني، وتصلح للاستخدام في أي مكان.
كيفية الاستخدام
اختر الدالة من القائمة المنسدلة، ثم أدخل مقدار الزاوية، واختر وحدتها. في وضع «\(\pi\) راديان» تُضرب القيمة التي تدخلها في \(\pi\)، فإدخال 0.5 يعني \(0.5\pi = \pi/2\). تعرض الحاسبة قيمة الدالة إلى جانب الزاوية محوَّلةً إلى كلٍّ من الراديان والدرجات، حتى تتمكن من التأكد من صحة التحويل.
شرح الصيغة الرياضية
تُشتق كل دالة من جيب الزاوية \(\theta\) بالراديان وجيب تمامها. أولًا تُوحَّد الزاوية على النحو:
$$\theta = \text{قيمة الزاوية} \times \text{المعامل}$$
حيث يساوي المعامل \(\pi\) أو 1 أو \(\pi/180\) أو \(\pi/200\) للوحدات: \(\pi\) راديان، والراديان، والدرجات، والغراد على الترتيب. بعد ذلك يُحسب الجيب وجيب التمام، ثم:
$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$
وحيثما يساوي المقام صفرًا تكون للدالة قُربة رأسية (asymptote) وتُسجَّل القيمة على أنها «غير معرَّفة». وبما أن الحساب العشري لـ \(\sin\) و\(\cos\) نادرًا ما يُرجع صفرًا بالضبط، يُستخدم هامش تسامح مقداره \(1\mathrm{e}{-12}\) لاكتشاف خطوط التقارب هذه بدقة.
مثال محلول
اختر دالة جيب التمام (Cosine)، وقيمة الزاوية 0.5، والوحدة «\(\pi\) راديان». عندئذٍ تكون
$$\theta = 0.5 \times \pi = 1.570796 \text{ راديان} = 90^\circ$$
وبالتالي \(\cos(90^\circ) = 0\)، فتظهر «قيمة الدالة» مساويةً للصفر. وإذا غيّرت الدالة إلى الظل (Tangent) مع الزاوية نفسها، فإن \(\cos(\theta)\) يساوي صفرًا، فتعرض الأداة «غير معرَّفة (قُربة)» — وهو ما يطابق الخط الرأسي الذي تراه في منحنى الظل عند \(\pi/2\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر النتيجة «غير معرَّفة»؟ ينطلق الظل والقاطع نحو ما لا نهاية حيث يكون جيب التمام صفرًا (\(\theta = \pi/2 + k\cdot\pi\))، بينما ينطلق ظل التمام وقاطع التمام نحو ما لا نهاية حيث يكون الجيب صفرًا (\(\theta = k\cdot\pi\)). عند هذه الزوايا بالتحديد تكون قيمة الدالة لا نهائية، لذا نسجّلها كقُربة رأسية.
ما المجال الذي تقع فيه النتائج؟ الجيب وجيب التمام يقعان دائمًا في المجال \([-1, 1]\)، أما القاطع وقاطع التمام فقيمتهما المطلقة لا تقل عن 1، في حين أن الظل وظل التمام يمكن أن يأخذا أي عدد حقيقي.
هل يمكنني إدخال زوايا سالبة؟ نعم. تُرسم المنحنيات القياسية في المجال من \(-2\pi\) إلى \(2\pi\)، وتقبل الحاسبة أي زاوية حقيقية بأي من الوحدات المدعومة.
