حاسبة الدوال المثلثية

أدخل الحساب

الدالة المثلثية الجيب (sin) جيب التمام (cos) الظل (tan) ظل التمام (cot) القاطع (sec) قاطع التمام (csc)

الزاوية

وحدة الزاوية درجات راديان غراد دورات

صيغة رياضية

Show calculation steps (1)

1. Six functions

   

   All six functions derive from sine and cosine of the radian angle.

نتائج

F(x) = قيمة الدالة المختارة

٠٫٥

التعبير	sin(30°) = 0.5

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

تتيح لك هذه الأداة حساب قيمة أيٍّ من الدوال المثلثية الست — الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام — لزاوية واحدة. كل ما عليك هو اختيار الدالة، وإدخال قيمة الزاوية، وتحديد الوحدة التي تُقاس بها (درجات أو راديان أو غراد أو دورات). تقوم الحاسبة بتحويل الزاوية إلى الراديان، ثم تطبّق الدالة المختارة، وتعرض القيمة العددية إلى جانب تعبير واضح مثل sin(30°) = 0.5.

طريقة الاستخدام

١) اختر الدالة المثلثية من القائمة المنسدلة. ٢) أدخل قيمة الزاوية. ٣) حدّد وحدة الزاوية. تظهر النتيجة على الفور. وإذا اخترت الظل أو القاطع عند الزاوية ٩٠°، أو ظل التمام أو قاطع التمام عند الزاوية ٠°، فستعرض الحاسبة كلمة غير معرّفة، لأن الدالة تملك قطبًا (أي قسمة على صفر) عند تلك النقطة.

شرح الصيغة الرياضية

تُبنى جميع الدوال انطلاقًا من الجيب وجيب التمام. تُحوَّل الزاوية أولًا إلى الراديان: اضرب في \(\pi/180\) للدرجات، أو في \(1\) للراديان، أو في \(\pi/200\) للغراد، أو في \(2\pi\) للدورات. ثم تُحسب القيمتان \(\sin\theta\) و\(\cos\theta\). ومنهما نحصل على:

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

وبما أن حساب جيب التمام بالفاصلة العائمة لا يعطي صفرًا تامًا أبدًا، فإن الأداة تعتبر أي قيمة يكون فيها \(|\cos\theta|\) أو \(|\sin\theta|\) أصغر من \(1\text{e}{-}12\) قطبًا وتعرض "غير معرّفة".

اعلان

دوال مثل ظا وظتا وقا وقتا لها أقطاب (خطوط تقارب رأسية) عند النقاط التي تكون فيها غير معرّفة.

على دائرة الوحدة، يمثّل جتاθ وجاθ الإحداثيين الأفقي والرأسي للنقطة عند الزاوية θ.

مثال محلول

لنحسب \(\tan(45°)\). التحويل:

$$\theta = 45 \times \frac{\pi}{180} = 0.7853981634\ \text{راديان}$$

ثم

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{0.7071067812}{0.7071067812}=1$$

إذن \(\tan(45°) = 1\). وعلى نحو مماثل \(\csc(30°) = \dfrac{1}{\sin(30°)} = \dfrac{1}{0.5} = 2\).

الأسئلة الشائعة

ما المدى الذي تأخذه كل دالة؟ يقع كل من \(\sin\) و\(\cos\) دائمًا بين \(-1\) و\(1\). أما \(\sec\) و\(\csc\) فقيمتهما المطلقة لا تقل عن \(1\). في حين يمكن أن يأخذ \(\tan\) و\(\cot\) أي عدد حقيقي.

لماذا تظهر كلمة "غير معرّفة"؟ يصبح الظل والقاطع لا نهائيين حيث ينعدم جيب التمام (عند ٩٠° و٢٧٠° وهكذا)، ويصبح ظل التمام وقاطع التمام لا نهائيين حيث ينعدم الجيب (عند ٠° و١٨٠° وهكذا). وعند هذه الأقطاب لا تملك الدالة أي قيمة منتهية.

ما هي الدورة (Turn)؟ الدورة الواحدة هي لفّة كاملة تساوي \(360\) درجة أو \(2\pi\) راديان. وهي مفيدة في حسابات الحركة الدورانية والترددات.