ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب حاسبة دالة اللوغاريتم هذه ثلاث دوال لوغاريتمية شائعة لأي عدد حقيقي موجب x: اللوغاريتم الطبيعي \(\ln(x)\) (بالأساس \(e\))، واللوغاريتم العشري \(\log(x)\) (بالأساس 10)، واللوغاريتم لأي أساس a، ويُكتب \(\log_a(x)\). وهي أداة رياضية عامة لا ترتبط بأي بلد أو وحدة قياس، إذ تُدخل كل قيمة كرقم مجرد بلا أبعاد.
كيفية الاستخدام
اختر الدالة من القائمة المنسدلة. في حالة \(\ln(x)\) و\(\log(x)\) يكفي إدخال القيمة x. أما في حالة \(\log_a(x)\) فعليك أيضًا إدخال الأساس a (ويجب أن يكون أكبر من 0 ولا يساوي 1). أدخل x (ويجب أن يكون أكبر من 0 للحصول على نتيجة حقيقية)، ثم اقرأ الناتج معروضًا بدقة تصل إلى نحو 14 رقمًا معنويًا.
شرح الصيغة
يجيب اللوغاريتم الطبيعي عن السؤال «ما الأس الذي يجب رفع \(e\) إليه ليعطي x؟»، بينما يجيب اللوغاريتم العشري عن السؤال «ما الأس الذي يجب رفع 10 إليه ليعطي x؟». وللأساس الاختياري، تستخدم الحاسبة صيغة تغيير الأساس:
$$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$وتصح هذه الصيغة لأن اللوغاريتمات بأي أساس متناسبة فيما بينها، لذا فإن قسمة لوغاريتمين طبيعيين يلغي تأثير اختيار الأساس في البسط والمقام.
مثال محلول
اختر \(\log_a(x)\) بالأساس \(a = 2\) وبقيمة \(x = 8\). عندئذ يكون
$$\log_2(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2.0794415\ldots}{0.6931472\ldots} = 3$$لأن 2 مرفوعًا للأس 3 يساوي 8. وبالمثل \(\log(1000) = 3\) لأن 10 تكعيب يساوي 1000، أما \(\ln(3)\) فيساوي تقريبًا \(1.0986122886681\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون x أكبر من 0؟ اللوغاريتم الحقيقي معرَّف فقط للقيم الموجبة. فكلما اقترب x من الصفر اتجه اللوغاريتم نحو سالب ما لا نهاية، وعند قيم x المساوية للصفر أو الأقل منه لا توجد قيمة حقيقية (تعيد الأداة الأصلية قيمة أساسية عقدية بدلًا من ذلك).
لماذا لا يمكن أن يكون الأساس مساويًا 1؟ لأن \(\ln(1)\) يساوي 0، وبالتالي ستؤدي صيغة تغيير الأساس إلى القسمة على صفر. لذا فإن اللوغاريتمات بالأساس 1 غير معرَّفة.
ما الفرق بين ln وlog؟ الرمز \(\ln\) يدل على الأساس \(e\) (نحو 2.71828)، بينما يدل \(\log\) هنا على الأساس 10. وهما يختلفان بعامل ثابت: \(\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
