ما هي دالة أويلر الكلية؟
دالة أويلر الكلية، ويُرمز لها بالرمز \(\varphi(n)\)، تحسب عدد الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n التي لا تشترك مع n في أي عامل مشترك غير الواحد — أي الأعداد الأولية نسبيًا مع n. على سبيل المثال، \(\varphi(9) = 6\) لأن الأعداد 1 و2 و4 و5 و7 و8 جميعها أولية نسبيًا مع 9. وتُعدّ هذه الدالة من الركائز الأساسية في نظرية الأعداد، كما تظهر بكثرة في علم التشفير، وأشهر تطبيقاتها خوارزمية RSA حيث تحدد \(\varphi(n)\) المعكوس الضربي القياسي (modular inverse) المستخدم في توليد المفاتيح.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل أي عدد صحيح موجب n ثم اضغط على زر الحساب. تقوم الأداة بتحليل n إلى عوامله الأولية المتمايزة وتطبّق الصيغة الضربية لتعيد لك قيمة \(\varphi(n)\) فورًا، إلى جانب قائمة بالعوامل الأولية المتمايزة التي عثرت عليها. وهي تعمل مع الأعداد الصغيرة والكبيرة جدًا حتى مليار.
شرح الصيغة
الطريقة الفعّالة لحساب الدالة الكلية هي الصيغة الضربية:
$$\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$$محسوبة على كل عدد أولي متمايز p يقسم n.
كل ما تحتاجه هو الأعداد الأولية المتمايزة، لا تكراراتها. وكل عامل \(\left(1 - \frac{1}{p}\right)\) يستبعد نسبة الأعداد القابلة للقسمة على هذا العدد الأولي.
مثال محلول
لنأخذ n = 36. تحليله إلى عوامل أولية هو \(2^2 \times 3^2\)، إذًا فالعوامل الأولية المتمايزة هي 2 و3. ومن ثم:
$$\varphi(36) = 36 \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 36 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 36 \times \frac{1}{3} = \mathbf{12}$$إذًا هناك 12 عددًا بالضبط بين 1 و36 تكون أولية نسبيًا مع 36.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(\varphi(1)\)؟ اصطلاحًا \(\varphi(1) = 1\)، لأن العدد 1 يُعدّ أوليًا نسبيًا مع نفسه.
ما قيمة \(\varphi\) لعدد أولي p؟ لأي عدد أولي p فإن \(\varphi(p) = p - 1\)، لأن كل عدد صحيح من 1 إلى p−1 يكون أوليًا نسبيًا مع p.
هل دالة \(\varphi\) ضربية؟ نعم. إذا كان القاسم المشترك الأكبر \(\gcd(a, b) = 1\) فإن \(\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)، وهذا بالضبط هو السبب الذي يجعل الجداء على العوامل الأولية المتمايزة صحيحًا.
