ما هي دالة غاما؟
دالة غاما، ويُرمز لها بـ \(\Gamma(z)\)، هي الامتداد المتصل لمضروب الأعداد (العاملي). فعند أي عدد صحيح موجب n تتحقق العلاقة \(\Gamma(n) = (n - 1)!\)، ومن ثم فإن \(\Gamma(5) = 4! = 24\). وخلافًا للعاملي العادي، فإن دالة غاما معرّفة لجميع الأعداد الحقيقية والمركبة باستثناء الأعداد الصحيحة غير الموجبة (0، −1، −2، …) حيث تكون لها أقطاب. وتظهر هذه الدالة في فروع كثيرة من الرياضيات، وفي الإحصاء (توزيعات غاما وبيتا ومربع كاي)، والفيزياء، والتوافيق.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أي قيمة لـ \(z\) — سواء كانت عددًا صحيحًا أو كسرًا أو عددًا سالبًا غير صحيح — وستُعيد الحاسبة قيمة \(\Gamma(z)\). على سبيل المثال: \(\Gamma(0.5) = \sqrt{\pi} \approx 1.772454\)، وأيضًا \(\Gamma(2.5) \approx 1.329340\). تجنّب إدخال الصفر أو الأعداد الصحيحة السالبة، فالدالة غير معرّفة عندها.
شرح الصيغة الرياضية
تعتمد هذه الأداة على تقريب لانكزوس (Lanczos)، وهو متسلسلة سريعة وعالية الدقة بثابت \(g = 7\) وتسعة معاملات محسوبة مسبقًا. وتُعطى المتطابقة الأساسية بالصيغة: $$\Gamma(z) = \sqrt{2\pi}\; (z + g + \tfrac{1}{2})^{z + \frac{1}{2}}\, e^{-(z + g + \frac{1}{2})}\, A_g(z)$$ حيث \(A_g(z)\) هو مجموع المعاملات الموزون. أما عندما يكون \(z < 0.5\)، فتطبّق الحاسبة أولًا صيغة الانعكاس $$\Gamma(z)\,\Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$ وهي التي تمكّنها من حساب القيم الصغيرة والسالبة بدقة.
مثال محلول
لإيجاد \(\Gamma(5)\): بما أن 5 عدد صحيح موجب، فإن $$\Gamma(5) = (5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ ويُعيد تقريب لانكزوس القيمة 24.0000 (في حدود التقريب)، مما يؤكّد علاقة دالة غاما بالعاملي.
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمكنني حساب \(\Gamma(0)\) أو \(\Gamma(-2)\)؟ لدالة غاما أقطاب عند كل عدد صحيح غير موجب، حيث تتزايد دون حدّ ولا تكون معرّفة عند هذه النقاط.
ما مدى دقة النتيجة؟ تقريب لانكزوس بثابت \(g = 7\) دقيق إلى نحو 15 رقمًا معنويًا للمدخلات الاعتيادية — وهو ما يفوق بكثير ما تعرضه الشاشة.
هل \(\Gamma(z)\) هي نفسها العاملي؟ إنهما مرتبطان ارتباطًا وثيقًا: \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) للأعداد الصحيحة الموجبة n. وتعمّم دالة غاما مفهوم العاملي ليشمل القيم غير الصحيحة والسالبة.
