ما هي الدالة المركبة؟
الدالة المركبة تجمع بين دالتين عبر إدخال ناتج إحداهما في الأخرى. الرمز \((f \circ g)(x)\)، ويُقرأ «f مركّبة مع g»، يعني أنك تحسب أولًا الدالة الداخلية g عند x، ثم تطبّق f على هذا الناتج: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\). والترتيب هنا مهم — فالتركيب بالاتجاه المعاكس \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) يعطي عادةً نتيجة مختلفة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل معاملات دالتين تربيعيتين: \(f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\) و \(g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\). وإذا أردت التعامل مع دالة خطية مثل \(g(x) = 2x + 1\)، اجعل \(d = 0\) و \(e = 2\) و \(h = 1\). أما الدالة الثابتة فتحصل عليها بجعل المعاملات الأعلى مساوية للصفر. ثم اختر قيمة x المطلوب الحساب عندها، وستُظهر لك الحاسبة \(g(x)\) و \(f(g(x))\) و \(f(x)\) و \(g(f(x))\) كي تتمكن من مقارنة التركيبين معًا.
شرح القانون
لحساب \((f \circ g)(x)\): أوجد أولًا القيمة الداخلية \(u = g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\)، ثم عوّض u في الدالة f: \(f(u) = a \cdot u^{2} + b \cdot u + c\). وبذلك تكون قيمة الدالة المركبة هي $$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = a\,g^{2} + b\,g + c$$ $$\text{where}\quad g = g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h$$ أما التركيب العكسي \((g \circ f)(x)\) فيبدّل الأدوار، إذ يستخدم \(f(x)\) باعتبارها القيمة الداخلية.
مثال محلول
لنفترض أن \(f(x) = x^{2} + 1\) (حيث \(a=1, b=0, c=1\)) و \(g(x) = 2x + 3\) (حيث \(d=0, e=2, h=3\))، وأردنا الحساب عند \(x = 2\). أولًا: \(g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7\). ثم: \(f(7) = 7^{2} + 1 = 50\). إذن \((f \circ g)(2) = 50\). وللمقارنة: \(f(2) = 5\)، و\((g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13\).
الأسئلة الشائعة
هل \((f \circ g)(x)\) تساوي حاصل ضرب \(f(x) \cdot g(x)\)؟ لا. التركيب يعوّض \(g(x)\) داخل f، بينما الضرب يضرب الناتجين معًا — وهما عمليتان مختلفتان تمامًا.
هل \((f \circ g)\) تساوي \((g \circ f)\)؟ فقط في حالات خاصة. أما في العموم فتركيب الدوال ليس عملية تبديلية.
هل يمكنني استخدام دوال خطية؟ نعم — اجعل معامل \(x^{2}\) مساويًا للصفر للحصول على دالة خطية أو ثابتة.
