Bileşke Fonksiyon Hesaplama Aracı (f∘g)(x)

Hesaplamaya Girin

f(x): a·x² + b·x + c — a

b

c

g(x): d·x² + e·x + h — d

e

h

x değerinde hesapla

Sonuç

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

9

verilen x değerindeki sonuç

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

Bileşke fonksiyon nedir?

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını diğerinin girdisi olarak kullanarak iki fonksiyonu birleştirir. "f bileşke g" şeklinde okunan \((f\circ g)(x)\) gösterimi, önce içteki g fonksiyonunu x noktasında hesapladığınız, ardından bu sonuca f fonksiyonunu uyguladığınız anlamına gelir: \((f\circ g)(x) = f(g(x))\). Burada sıralama önemlidir; bileşkeyi ters yönde aldığınızda, yani \((g\circ f)(x) = g(f(x))\) durumunda, sonuç genellikle farklı çıkar.

Bileşke fonksiyon iki fonksiyonu zincirler: x, g'ye girer, sonra g(x), f'ye girer.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

İki ikinci dereceden fonksiyonun katsayılarını girin: \(f(x) = a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) ve \(g(x) = d\cdot x^{2} + e\cdot x + h\). Örneğin \(g(x) = 2x + 1\) gibi doğrusal bir fonksiyonla çalışmak isterseniz \(d = 0\), \(e = 2\), \(h = 1\) değerlerini girin. Sabit bir fonksiyon için ise yüksek dereceli katsayıları 0 yapın. Değerlendirmek istediğiniz x değerini seçtiğinizde araç size \(g(x)\), \(f(g(x))\), \(f(x)\) ve \(g(f(x))\) sonuçlarını verir; böylece iki bileşkeyi de karşılaştırabilirsiniz.

Formülün açıklaması

\((f\circ g)(x)\) değerini bulmak için: önce içteki değeri hesaplayın, yani \(u = g(x) = d\cdot x^{2} + e\cdot x + h\). Ardından u değerini f fonksiyonunda yerine koyun: \(f(u) = a\cdot u^{2} + b\cdot u + c\). Dolayısıyla bileşke değer \(a\cdot g(x)^{2} + b\cdot g(x) + c\) olur. Ters bileşke \((g\circ f)(x)\) ise rolleri değiştirir ve içteki değer olarak f(x) kullanılır.

$$\begin{gathered} (f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c} \\[1.5em] \text{where}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h} \end{gathered}$$

Reklam

Sıra önemlidir: \((f\circ g)(x)\) ile \((g\circ f)(x)\) genellikle farklıdır.

Çözümlü örnek

\(f(x) = x^{2} + 1\) (a=1, b=0, c=1) ve \(g(x) = 2x + 3\) (d=0, e=2, h=3) olsun ve \(x = 2\) noktasında hesaplayalım. Önce $$g(2) = 2\cdot 2 + 3 = 7.$$ Ardından $$f(7) = 7^{2} + 1 = 50.$$ Yani \((f\circ g)(2) = 50\). Karşılaştırma için: \(f(2) = 5\) ve \((g\circ f)(2) = g(5) = 2\cdot 5 + 3 = 13\).

Sıkça sorulan sorular

\((f\circ g)(x)\) ile \(f(x)\cdot g(x)\) aynı şey midir? Hayır. Bileşke işleminde g(x) ifadesi f içinde yerine konur; çarpma işleminde ise iki çıktı birbiriyle çarpılır. Bunlar tamamen farklı işlemlerdir.

\((f\circ g)\) ile \((g\circ f)\) eşit midir? Yalnızca özel durumlarda. Genel olarak fonksiyon bileşkesi değişme özelliğine sahip değildir.

Doğrusal fonksiyonlar kullanabilir miyim? Evet; \(x^{2}\) katsayısını 0 yaparak doğrusal veya sabit bir fonksiyon elde edebilirsiniz.