कंपोजिट फंक्शन क्या होता है?
कंपोजिट फंक्शन (संयुक्त फलन) दो फलनों को इस तरह जोड़ता है कि एक फलन का परिणाम दूसरे फलन में डाल दिया जाता है। संकेतन \((f \circ g)(x)\), जिसे "f कंपोज़्ड विद g" पढ़ा जाता है, का अर्थ है कि पहले आप अंदरूनी फलन \(g\) को \(x\) पर हल करते हैं, फिर उस परिणाम पर \(f\) लगाते हैं: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)। यहाँ क्रम मायने रखता है — उल्टे क्रम में करने पर, यानी \((g \circ f)(x) = g(f(x))\), आमतौर पर उत्तर अलग आता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दो द्विघात फलनों \(f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c\) और \(g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h\) के गुणांक (coefficients) दर्ज करें। यदि आपको \(g(x) = 2x + 1\) जैसा रैखिक (linear) फलन चाहिए, तो \(d = 0\), \(e = 2\), \(h = 1\) रखें। किसी अचर (constant) फलन के लिए ऊपरी गुणांकों को 0 कर दें। फिर वह \(x\) मान चुनें जिस पर आप हल करना चाहते हैं, और कैलकुलेटर आपको \(g(x)\), \(f(g(x))\), \(f(x)\) तथा \(g(f(x))\) देगा ताकि आप दोनों कंपोज़िशन की तुलना कर सकें।
फॉर्मूला समझें
\((f \circ g)(x)\) निकालने के लिए: पहले अंदरूनी मान \(u = g(x) = d\,x^{2} + e\,x + h\) ज्ञात करें। फिर इस \(u\) को \(f\) में रखें: \(f(u) = a\,u^{2} + b\,u + c\)।
$$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c}$$इस प्रकार कंपोजिट मान बनता है \(a\,g(x)^{2} + b\,g(x) + c\)। उल्टी कंपोज़िशन \((g \circ f)(x)\) में भूमिकाएँ बदल जाती हैं और \(f(x)\) को अंदरूनी मान के रूप में उपयोग किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(f(x) = x^{2} + 1\) (a=1, b=0, c=1) और \(g(x) = 2x + 3\) (d=0, e=2, h=3), और इन्हें \(x = 2\) पर हल करना है। पहले
$$g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$$फिर
$$f(7) = 7^{2} + 1 = 50$$तो \((f \circ g)(2) = 50\)। तुलना के लिए, \(f(2) = 5\) और \((g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \((f \circ g)(x)\) और \(f(x) \cdot g(x)\) एक ही चीज़ हैं? नहीं। कंपोज़िशन में \(g(x)\) को \(f\) में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि गुणन (multiplication) में दोनों के परिणामों को आपस में गुणा किया जाता है — ये पूरी तरह अलग संक्रियाएँ हैं।
क्या \((f \circ g)\) और \((g \circ f)\) बराबर होते हैं? केवल कुछ विशेष स्थितियों में। सामान्यतः फलन कंपोज़िशन क्रमविनिमेय (commutative) नहीं होती।
क्या मैं रैखिक फलनों का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ — \(x^{2}\) के गुणांक को 0 कर दें, इससे आपको रैखिक या अचर फलन मिल जाएगा।
