डोमेन और रेंज कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल चार आम फलन परिवारों — रैखिक (linear), द्विघात (quadratic), परिमेय (rational) और वर्गमूल (square root) — के लिए डोमेन (वे सभी मान्य इनपुट x-मान) और रेंज (वे सभी संभव आउटपुट y-मान) ज्ञात करता है। उत्तर मानक अंतराल (interval) और समुच्चय (set) संकेतन में मिलता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन में से एक फलन प्रकार चुनें, फिर उससे जुड़े गुणांक भरें। द्विघात \(a\,x^{2} + b\,x + c\) के लिए आपको a, b और c देने होते हैं। परिमेय \(\frac{a}{x - h}\) या वर्गमूल \(\sqrt{x - h}\) के लिए आपको केवल h देना होता है। जिन बॉक्स की ज़रूरत न हो, उन्हें शून्य पर ही छोड़ सकते हैं।
सूत्रों की व्याख्या
रैखिक फलन (a ≠ 0) का डोमेन और रेंज दोनों सभी वास्तविक संख्याओं तक फैले होते हैं। द्विघात फलन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ होता है; इसकी रेंज शीर्ष (vertex) के y-मान \(y_{v} = c - \frac{b^{2}}{4a}\) से सीमित होती है — a > 0 होने पर यह \([y_{v}, \infty)\) और a < 0 होने पर \((-\infty, y_{v}]\) होती है। परिमेय फलन \(\frac{a}{x - h}\) में डोमेन से x = h और रेंज से y = 0 बाहर रहते हैं। वर्गमूल \(\sqrt{x - h}\) के लिए x − h ≥ 0 आवश्यक है, इसलिए डोमेन \([h, \infty)\) और रेंज \([0, \infty)\) होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
द्विघात \(x^{2} - 4x + 3\) के लिए a = 1, b = −4, c = 3 है। शीर्ष का y-मान होगा $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ चूँकि a > 0 है, इसलिए रेंज \([-1, \infty)\) होगी और डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ होंगी।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
द्विघात फलन का डोमेन हमेशा सभी वास्तविक संख्याएँ क्यों होता है? बहुपद (polynomial) हर इनपुट के लिए परिभाषित होते हैं, इसलिए इन पर कोई प्रतिबंध नहीं लगता।
परिमेय फलन के डोमेन को क्या सीमित करता है? कोई भी ऐसा x जो हर (denominator) को शून्य बना दे, उसे बाहर रखा जाता है, क्योंकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है।
क्या वर्गमूल फलन की रेंज ऋणात्मक हो सकती है? नहीं — मुख्य वर्गमूल (principal square root) हमेशा ≥ 0 होता है, इसलिए रेंज 0 से शुरू होती है।
