什麼是定義域與值域計算器？
這個工具能幫你判斷四種常見函數的定義域（所有合法的 x 輸入值）與值域（所有可能的 y 輸出值），適用於一次函數、二次函數、有理函數與平方根函數。計算結果會以標準的區間表示法與集合表示法呈現。
使用方式
先從下拉選單挑選函數類型，再填入對應的係數。以二次函數 \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) 為例，需輸入 a、b、c 三個值；若是有理函數 \(a/(x - h)\) 或平方根函數 \(\sqrt{x - h}\)，則只需填入 h。沒用到的欄位保持為 0 即可。
公式解析
一次函數（\(a \neq 0\)）的定義域與值域皆涵蓋全體實數。二次函數的定義域同樣是全體實數，但值域會受頂點 y 值 \(y_{v} = c - \frac{b^{2}}{4a}\) 限制：當 \(a > 0\) 時為 \([y_{v}, \infty)\)，當 \(a < 0\) 時為 \((-\infty, y_{v}]\)。有理函數 \(a/(x - h)\) 的定義域須排除 \(x = h\)，值域則須排除 \(y = 0\)。平方根函數 \(\sqrt{x - h}\) 要求 \(x - h \geq 0\)，因此定義域為 \([h, \infty)\)，值域為 \([0, \infty)\)。
$$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = \left[\,c - \frac{b^{2}}{4\,a},\; \infty\right)$$
實例演練
以二次函數 \(x^{2} - 4x + 3\) 為例，可得 \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\)。頂點 y 值為 $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ 由於 \(a > 0\)，所以值域為 \([-1, \infty)\)，定義域則為全體實數。
常見問題
為什麼二次函數的定義域永遠是全體實數？因為多項式對任何輸入值都有定義，不會出現任何限制。
什麼情況會限制有理函數的定義域？凡是會讓分母等於 0 的 x 值都必須排除，因為除以 0 是沒有定義的。
平方根函數的值域有可能是負數嗎？不會。主平方根的結果永遠 ≥ 0，所以值域從 0 開始。
