定義域・値域の計算ツールとは？
このツールは、代表的な4種類の関数（一次関数・二次関数・分数関数・平方根関数）について、定義域（取り得るすべての入力値 \(x\)）と値域（取り得るすべての出力値 \(y\)）を求めます。結果は標準的な区間表記と集合表記で表示されます。
使い方
まずプルダウンから関数の種類を選び、必要な係数を入力します。二次関数 \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) の場合は a・b・c を入力します。分数関数 \(\frac{a}{x - h}\) や平方根関数 \(\sqrt{x - h}\) の場合は h を入力してください。使わない入力欄は 0 のままで構いません。
計算式の解説
一次関数（\(a \neq 0\)）は、定義域も値域もすべての実数になります。二次関数の定義域はすべての実数で、値域は頂点の y 座標 \(y_{v} = c - \frac{b^{2}}{4a}\) によって決まります。\(a > 0\) のときは \([y_{v}, \infty)\)、\(a < 0\) のときは \((-\infty, y_{v}]\) となります。分数関数 \(\frac{a}{x - h}\) では、\(x = h\) は定義域から、\(y = 0\) は値域から除かれます。平方根関数 \(\sqrt{x - h}\) では \(x - h \geq 0\) が必要なので、定義域は \([h, \infty)\)、値域は \([0, \infty)\) です。
計算例
二次関数 \(x^{2} - 4x + 3\) では、\(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\) です。頂点の y 座標は $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ となります。\(a > 0\) なので、値域は \([-1, \infty)\)、定義域はすべての実数です。
よくある質問
二次関数の定義域は、なぜ常にすべての実数になるのですか？ 多項式はどんな入力値に対しても定義されるため、制限がないからです。
分数関数の定義域を制限するのは何ですか？ 分母が 0 になる \(x\) は、0 による除算が定義できないため除外されます。
平方根関数の値域はマイナスになることがありますか？ いいえ。主平方根は常に 0 以上なので、値域は 0 から始まります。
