¿Qué es la Calculadora de Dominio y Rango?
Esta herramienta determina el dominio (todos los valores de entrada x válidos) y el rango (todos los valores de salida y posibles) de cuatro familias de funciones habituales: lineales, cuadráticas, racionales y con raíz cuadrada. Los resultados se presentan en notación de intervalos y de conjuntos estándar.
Cómo utilizarla
Elige un tipo de función en el menú desplegable y, a continuación, introduce los coeficientes correspondientes. Para una cuadrática \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) debes indicar a, b y c. Para una racional \(a/(x - h)\) o una raíz cuadrada \(\sqrt{x - h}\) basta con introducir h. Las casillas que no necesites pueden quedarse en cero.
Las fórmulas explicadas
Las funciones lineales (a ≠ 0) abarcan todos los números reales tanto en el dominio como en el rango. Una cuadrática tiene como dominio todos los reales; su rango está limitado por el valor y del vértice \(y_{v} = c - b^{2}/(4a)\), lo que da \([y_{v}, \infty)\) cuando a > 0 y \((-\infty, y_{v}]\) cuando a < 0. Una función racional \(a/(x - h)\) excluye x = h del dominio y y = 0 del rango. Una raíz cuadrada \(\sqrt{x - h}\) exige que x − h ≥ 0, por lo que el dominio es \([h, \infty)\) y el rango es \([0, \infty)\).
$$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c \;\Rightarrow\; \text{Dominio} = (-\infty, \infty),\quad \text{Rango} = \left[\,c - \frac{b^{2}}{4\,a},\; \infty\right)$$$$f(x) = a\,x + b \;\Rightarrow\; \text{Dominio} = (-\infty, \infty),\quad \text{Rango} = (-\infty, \infty)$$$$f(x) = \frac{a}{x - h} \;\Rightarrow\; \text{Dominio} = \{\,x \neq h\,\},\quad \text{Rango} = \{\,y \neq 0\,\}$$$$f(x) = \sqrt{\,x - h\,} \;\Rightarrow\; \text{Dominio} = \left[\,h,\; \infty\right),\quad \text{Rango} = [\,0,\; \infty)$$
Ejemplo resuelto
Para la cuadrática \(x^{2} - 4x + 3\) tenemos a = 1, b = −4, c = 3. El valor y del vértice es $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Como a > 0, el rango es \([-1, \infty)\) y el dominio son todos los números reales.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el dominio de una cuadrática siempre son todos los números reales? Los polinomios están definidos para cualquier valor de entrada, así que no existe ninguna restricción.
¿Qué restringe el dominio de una función racional? Cualquier valor de x que haga cero el denominador queda excluido, porque la división entre cero no está definida.
¿Puede el rango de una raíz cuadrada ser negativo? No: la raíz cuadrada principal siempre es ≥ 0, por lo que el rango empieza en 0.
