Калькулятор области определения и области значений

Введите расчет

Тип функции Линейная: a·x + b Квадратичная: a·x² + b·x + c Дробная: a / (x − h) Корень: √(x − h)

a

b

c

h

Результатов

Область определения

All real numbers (-∞, ∞)

Область значений

[0.0, ∞)

Что такое калькулятор области определения и значений?

Этот инструмент находит область определения (все допустимые значения x) и область значений (все возможные значения y) для четырёх распространённых типов функций: линейной, квадратичной, дробно-рациональной и функции квадратного корня. Ответы выдаются в стандартной интервальной и множественной записи.

Область определения — это множество входных значений x; область значений — множество выходных значений y.

Как пользоваться калькулятором

Выберите тип функции из выпадающего списка и введите нужные коэффициенты. Для квадратичной функции \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) укажите a, b и c. Для дробной \(a/(x - h)\) или корня \(\sqrt{x - h}\) достаточно ввести h. Неиспользуемые поля можно оставить равными нулю.

Разбор формул

Линейная функция (при \(a \neq 0\)) охватывает все действительные числа и по области определения, и по области значений. У квадратичной функции область определения — все действительные числа, а область значений ограничена ординатой вершины \(y_{в} = c - b^{2}/(4a)\): получаем \([y_{в}, \infty)\) при \(a > 0\) и \((-\infty, y_{в}]\) при \(a < 0\). Дробная функция \(a/(x - h)\) исключает \(x = h\) из области определения и \(y = 0\) из области значений. Функция корня \(\sqrt{x - h}\) требует, чтобы \(x - h \geq 0\), поэтому её область определения — \([h, \infty)\), а область значений — \([0, \infty)\).

Реклама

У каждого типа функции есть характерный вид области определения и значений.

Разбор примера

Для квадратичной функции \(x^{2} - 4x + 3\) имеем \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Ордината вершины равна $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Поскольку \(a > 0\), область значений составляет \([-1, \infty)\), а область определения — все действительные числа.

Частые вопросы

Почему область определения квадратичной функции — всегда все действительные числа? Многочлены определены при любом значении аргумента, поэтому никаких ограничений нет.

Что ограничивает область определения дробной функции? Любое x, при котором знаменатель обращается в ноль, исключается, ведь деление на ноль не определено.

Может ли область значений корня быть отрицательной? Нет — арифметический квадратный корень всегда \(\geq 0\), поэтому область значений начинается с нуля.