ما هي حاسبة المجال والمدى؟
تحدد هذه الأداة المجال (جميع قيم x المدخلة الصحيحة) والمدى (جميع قيم y الناتجة الممكنة) لأربع عائلات شائعة من الدوال: الدوال الخطية والتربيعية والكسرية والجذرية. وتعرض النتائج بصيغة الفترات وصيغة المجموعات المعتادة.
طريقة الاستخدام
اختر نوع الدالة من القائمة المنسدلة، ثم أدخل المعاملات المطلوبة. ففي الدالة التربيعية \(a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) تُدخل قيم a وb وc. أما في الدالة الكسرية \(a/(x - h)\) أو الجذرية \(\sqrt{x - h}\) فتُدخل قيمة h فقط. ويمكنك ترك الخانات غير المستخدمة على القيمة صفر.
شرح الصيغ الرياضية
الدوال الخطية (حيث \(a \neq 0\)) يمتد مجالها ومداها ليشمل جميع الأعداد الحقيقية. أما الدالة التربيعية فمجالها جميع الأعداد الحقيقية، بينما يتحدد مداها بقيمة y عند الرأس \(y_{v} = c - b^{2}/(4a)\)، فيكون \([y_{v}, \infty)\) عندما \(a > 0\)، و\((-\infty, y_{v}]\) عندما \(a < 0\). وفي الدالة الكسرية \(a/(x - h)\) تُستبعد \(x = h\) من المجال وتُستبعد \(y = 0\) من المدى. أما الدالة الجذرية \(\sqrt{x - h}\) فتشترط أن يكون \(x - h \geq 0\)، ومن ثم يكون المجال \([h, \infty)\) والمدى \([0, \infty)\).
مثال محلول
لنأخذ الدالة التربيعية \(x^{2} - 4x + 3\) حيث \(a = 1\) وb = −4 وc = 3. تكون قيمة y عند الرأس مساوية لـ $$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ وبما أن \(a > 0\) فإن المدى هو \([-1, \infty)\) والمجال هو جميع الأعداد الحقيقية.
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون مجال الدالة التربيعية دائمًا جميع الأعداد الحقيقية؟ لأن كثيرات الحدود معرّفة عند أي قيمة مدخلة، ومن ثم لا توجد أي قيود على المجال.
ما الذي يقيّد مجال الدالة الكسرية؟ أي قيمة لـ x تجعل المقام يساوي صفرًا تُستبعد، لأن القسمة على صفر غير معرّفة.
هل يمكن أن يكون مدى الدالة الجذرية سالبًا؟ لا، فالجذر التربيعي الأساسي يكون دائمًا \(\geq 0\)، ولذلك يبدأ المدى من الصفر.
