ما هي حاسبة تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل؟
تقوم هذه الأداة بتحليل ثلاثي الحدود التربيعي الذي يأخذ الصيغة \(ax^{2} + bx + c\) إلى الشكل \(a(x - r_1)(x - r_2)\)، حيث يمثّل \(r_1\) و\(r_2\) الجذرين اللذين نحصل عليهما من القانون العام (الدستور). تعمل الحاسبة مع أي معاملات حقيقية، وتخبرك على الفور إذا كان من غير الممكن تحليل ثلاثي الحدود في مجموعة الأعداد الحقيقية.
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة: a (معامل \(x^{2}\))، وb (معامل \(x\))، وc (الحد الثابت). ثم اضغط على زر الحساب. ستعرض لك الحاسبة الجذرين، وقيمة المميز \(b^{2} - 4ac\)، إضافة إلى الصيغة المُحلّلة بالكامل.
شرح القانون
نحصل على الجذور من القانون العام للمعادلة التربيعية:
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4\,a\,c}}{2\,a}$$أما المقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، \(\Delta = b^{2} - 4ac\)، فيُسمّى المميز. فإذا كان \(\Delta > 0\) فهناك جذران حقيقيان مختلفان؛ وإذا كان \(\Delta = 0\) فهناك جذر حقيقي واحد مكرّر؛ وإذا كان \(\Delta < 0\) فلا يمكن تحليل ثلاثي الحدود في الأعداد الحقيقية (ويُحلّل فقط في مجموعة الأعداد المركّبة). وبمجرد معرفة الجذرين، يُحلّل ثلاثي الحدود إلى الصيغة \(a(x - r_1)(x - r_2)\).
$$\begin{gathered} a x^{2} + b x + c = a\,(x - x_1)(x - x_2) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2\,a} \\ D &= b^{2} - 4\,a\,c \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
لنحلّل \(x^{2} - 5x + 6\). هنا \(a = 1\)، و\(b = -5\)، و\(c = 6\). قيمة المميز هي
$$(-5)^{2} - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$والجذران هما \(\frac{5 \pm 1}{2}\)، ما يعطي \(r_1 = 3\) و\(r_2 = 2\). وبذلك يكون
$$x^{2} - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$$الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(a = 0\)؟ في هذه الحالة لا تكون المعادلة تربيعية ولا يمكن تحليلها كثلاثي حدود؛ وتُظهر الحاسبة أنه لا يوجد تحليل في الأعداد الحقيقية.
ماذا يعني أن يكون المميز سالبًا؟ يعني أن ثلاثي الحدود ليس له جذور حقيقية، وبالتالي لا يمكن تحليله باستخدام الأعداد الحقيقية — إذ توجد له عوامل مركّبة فقط.
هل يمكن أن تكون الجذور كسورًا أو أعدادًا عشرية؟ نعم. تعرض الحاسبة الجذور بصيغة عشرية بعدة منازل، وقد تمثّل هذه القيم كسورًا دقيقة.
