三項式因式分解計算機

輸入計算

a（x² 係數）

b（x 係數）

c（常數項）

結果

1.0

因式分解結果

1(x − 3)(x − 2)

由二次公式求得的根

根 r₁	3
根 r₂	2
判別式（b²−4ac）	1

什麼是三項式因式分解計算機？

這個工具能將形如 \(ax^2 + bx + c\) 的二次三項式分解為 \(a(x - r_1)(x - r_2)\)，其中 \(r_1\) 與 \(r_2\) 是利用二次公式求得的根。它適用於任何實數係數，並會在三項式無法在實數範圍內分解時立即告知你。

使用方法

輸入三個係數：a（\(x^2\) 的係數）、b（\(x\) 的係數），以及 c（常數項）。按下計算，計算機便會回傳兩個根、判別式 \(b^2 - 4ac\)，以及完整的因式分解結果。

公式解析

根是由二次公式求得：

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

根號底下的數值 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 稱為判別式。當 \(\Delta > 0\) 時，有兩個相異實根；當 \(\Delta = 0\) 時，有一個重根；當 \(\Delta < 0\) 時，三項式在實數範圍內無法分解（只能在複數範圍內分解）。一旦求出根，三項式即可分解為 \(a(x - r_1)(x - r_2)\)。

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判別式 \(b^2 - 4ac\) 決定根的個數與類型。

三項式 \(ax^2 + bx + c\) 可藉由其兩個根分解為 \(a(x - r_1)(x - r_2)\)。

範例演算

試將 \(x^2 - 5x + 6\) 分解。這裡 \(a = 1\)、\(b = -5\)、\(c = 6\)。判別式為

$$(-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

兩個根為 \(\frac{5 \pm 1}{2}\)，得 \(r_1 = 3\) 與 \(r_2 = 2\)。因此

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)$$

常見問題

如果 \(a = 0\) 會怎樣？那麼它就不是二次式，也無法作為三項式進行因式分解；計算機會回報無實數分解。

判別式為負代表什麼？表示三項式沒有實根，因此無法用實數進行分解——只能存在複數因式。

根可以是分數或小數嗎？可以。計算機會顯示到小數點後數位的小數根，這些數值有可能代表精確的分數。