這個計算器能做什麼

這個工具可以解出三元一次聯立方程式，也就是含有 x、y、z 三個未知數的三條線性方程式。你只要把方程式整理成下列標準形式，再輸入各項係數即可：

$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

計算器會算出 x、y、z 的唯一解，並同時顯示係數矩陣的行列式 $\det(A)$。任何實數係數都適用，包括負數、分數與小數。

使用方式

每一列代表一條方程式。請依序填入 x 前面的係數（a）、y 的係數（b）、z 的係數（c），最後再填等號右邊的常數（d）。輸入前記得先把所有變數移到等號左邊、常數移到右邊。舉例來說，若方程式寫成 $5 = 2x - y$，請先改寫成 $2x - y + 0z = 5$ 再輸入。

本工具採用克拉瑪公式（Cramer's rule）求解。首先計算係數矩陣 A 的行列式；接著針對每一個變數，將 A 中對應的那一行換成常數行 d，再取該矩陣的行列式。最後相除就能得到各變數的值：

$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$

如果 $\det(A) = 0$，克拉瑪公式便失效——此時方程組沒有唯一解（可能無解，也可能有無限多組解），計算器會特別標示出來。

求解 $2x + y - z = 8$、$-3x - y + 2z = -11$、$-2x + y + 2z = -3$。

計算得 $\det(A) = -1$。套用克拉瑪公式後，$\det(A_x) = -2$、$\det(A_y) = -3$、$\det(A_z) = 1$，因此 $x = 2$、$y = 3$、$z = -1$。可以驗算：$$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$

3×3 系統中的每個方程描述三維空間中的一個平面。解是所有三個平面相交的地方，而行列式 $D=\det(A)$ 的值告訴您您處於以下三種情況中的哪一種。

當係數行列式非零時，三個平面恰好在一點相交。克萊默法則返回單個 $(x,y,z)$，該序數三元組是唯一同時滿足所有三個方程的值集。這是一個一致的、獨立的系統。輸出 $x=D_x/D$、$y=D_y/D$、$z=D_z/D$ 是精確的（在舍入誤差範圍內），可以通過代入原始方程來驗證。

當 $D=0$ 時，矩陣是奇異的，克萊默法則無法進行除法。存在兩個子情況：

行列式單獨無法區分這兩者；您必須檢查方程（例如，通過行約化）以查看它們是矛盾的還是冗餘的。

三個返回的數字是使每個方程成立的坐標。一個值可以是負數、零或分數。如果計算器報告 $D=0$，請謹慎對待答案，重新檢查系統，而不是信任一個除法結果。

係數矩陣 $A$: 3×3 陣列，包含每個方程左側乘以 $x, y, z$ 的數字：行是方程，列對應 $x$、$y$ 和 $z$。
常數向量 $d$: 方程等於的右側值的列 $(d_1, d_2, d_3)$。
行列式 $\det(A)$（也稱為 $D$）: 從方陣計算的單一標量，衡量矩陣是否可逆。$\det(A)\neq0$ 表示存在唯一解。
克萊默法則: 一種通過將每個變量寫成行列式比率來求解平方線性系統的方法：$x=D_x/D$、$y=D_y/D$、$z=D_z/D$，其中 $D_x, D_y, D_z$ 來自用 $d$ 替換匹配列。
薩呂斯法則: 3×3 矩陣行列式的快速計算方法：將從左上到右下運行的三條對角線求和，並減去從右上到左下運行的三條對角線。
奇異矩陣: 行列式為 $0$ 的方陣；它沒有逆矩陣，因此克萊默法則無法產生唯一解。
唯一解: 恰好一個 $(x,y,z)$ 滿足系統；當 $D\neq0$ 時發生。
一致系統: 至少有一個解（一個或無窮多個）的系統。
相依系統: 一致系統，因為方程不是全部獨立而有無窮多個解。
不一致系統: 根本沒有解的系統；其方程相互矛盾。
每行 $a, b, c, d$: 在第 $i$ 行內，$a_i$ 是 $x$ 係數，$b_i$ 是 $y$ 係數，$c_i$ 是 $z$ 係數，$d_i$ 是右側的常數。

如果 $\det(A)$ 等於零怎麼辦？代表這三個平面無法交於同一點，因此找不到唯一的 (x, y, z)。此時方程組不是矛盾（無解）就是相依（無限多解）。

可以輸入小數或分數嗎？可以——請直接輸入小數（例如用 0.5 取代 1/2）。

克拉瑪公式準確嗎？對於 3×3 的方程組來說，這個方法不僅精確，在一般情況下也相當穩定。不過若係數非常大或矩陣接近奇異，最後幾位小數可能會出現些微捨入誤差。