Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bu araç, üç bilinmeyenli (x, y, z) üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemi çözer. Denklemlerin katsayılarını standart biçimde girersiniz:
\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)
Hesaplayıcı, x, y ve z'nin tek çözümünü, ayrıca katsayı determinantı \(\det(A)\) değerini de verir. Negatif sayılar, kesirler ve ondalıklar dâhil her türlü gerçek katsayıyla çalışır.
Nasıl Kullanılır?
Her satır bir denkleme karşılık gelir. x'in katsayısını (a), y'nin katsayısını (b) ve z'nin katsayısını (c) yazın, ardından eşitliğin sağ tarafındaki sabiti (d) girin. Değerleri girmeden önce tüm değişkenleri sol tarafa, sabiti de sağ tarafa taşıyın. Örneğin denkleminiz \(5 = 2x - y\) biçimindeyse, bunu \(2x - y + 0z = 5\) olarak yeniden yazın.
Formülün Açıklaması
Çözüm Cramer kuralına dayanır. Önce katsayı matrisi A'nın determinantını hesaplarız. Sonra her değişken için, A'nın o değişkene karşılık gelen sütununu sabitler sütunu d ile değiştirir ve bu yeni matrisin determinantını alırız. Bölme işlemi değişkenin değerini verir:
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$
Eğer \(\det(A) = 0\) ise Cramer kuralı işe yaramaz; sistemin tek bir çözümü yoktur (ya hiç çözüm yoktur ya da sonsuz sayıda çözüm vardır) ve hesaplayıcı bu durumu sizin için belirtir.
Çözümlü Örnek
Şu sistemi çözelim: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\) bulunur. Cramer kuralı uygulandığında \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\) olur; buradan \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) elde edilir. Doğrulayalım: $$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$
Sonucunuzu Yorumlama
Bir 3×3 sistem içindeki her denklem, üç boyutlu uzayda bir düzlem tanımlar. Çözüm, üç düzlemin hepsinin kesiştiği yerdir ve determinantın \(D=\det(A)\) değeri sizin hangi durumda olduğunuzu söyler.
\(D\neq0\): Tek bir çözüm
Katsayı determinantı sıfırdan farklı olduğunda, üç düzlem tam olarak bir noktada kesişir. Cramer kuralı tek bir \((x,y,z)\) değeri döndürür ve bu sıralı üçlü, üç denklemi aynı anda sağlayan tek değer kümesidir. Bu bir tutarlı, bağımsız sistemdir. \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\) çıktısı kesin (yuvarlama hariç) olup, orijinal denklemlere geri yerine konarak kontrol edilebilir.
\(D=0\): Tek bir çözüm yok
\(D=0\) olduğunda matris tekildir ve Cramer kuralı bölüm alamaz. İki alt durum vardır:
- Tutarsız — çözüm yok. Düzlemlerin ortak bir noktası yoktur (örneğin, iki veya daha fazlası paralel olabilir veya hiçbir tek noktanın üç tanesinin de üzerinde yer almadığı üçgen prizma düzenlemesi oluştururlar). Sistem sıfır çözüme sahiptir.
- Bağımlı — sonsuz çok çözüm. Düzlemler bir bütün doğru paylaşır (veya çakışır). Burada denklemler bağımsız değildir ve genellikle serbest bir parametre ile açıklanan sonsuz bir \((x,y,z)\) üçlü ailesi vardır.
Determinant tek başına bu iki durumu ayırt edemez; denklemleri incelemelisiniz (örn. satır indirgeme yoluyla) çünkü bunlar çelişkili veya gereksiz olabilir.
x, y, z çıktısını okuma
Döndürülen üç sayı, her denklemi doğru kılan koordinatlardır. Bir değer negatif, sıfır veya kesirli olabilir. Hesap makinesi \(D=0\) bildirirse, cevaba dikkatli davranın ve bölünen bir sonuca güvenmek yerine sistemi yeniden inceleyin.
Tanımlar ve Sözlük
- Katsayı matrisi \(A\)
- Her denklemin sol tarafında \(x, y, z\)'yi çarpan sayıların 3×3 dizisi: satırlar denklemler, sütunlar \(x\), \(y\) ve \(z\) ile uyumludur.
- Sabitler vektörü \(d\)
- Denklemlerin eşit olduğu sağ taraf değerlerinin \((d_1, d_2, d_3)\) sütunu.
- Determinant \(\det(A)\) (ayrıca \(D\))
- Bir kare matristirden hesaplanan, matrisin tersinin alınabilir olup olmadığını ölçen tekil bir skaler. \(\det(A)\neq0\) tek bir çözüm var demektir.
- Cramer kuralı
- Her değişkeni determinantların bir oranı olarak yazarak kare bir lineer sistemi çözen bir yöntem: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), burada \(D_x, D_y, D_z\) eşleşen sütunu \(d\) ile değiştirmekten gelir.
- Sarrus kuralı
- Bir 3×3 matrisin determinantı için bir kısayol: sol üst köşeden sağ alt köşeye giden üç diyagonali toplayın ve sağ üst köşeden sol alt köşeye giden üç diyagonali çıkarın.
- Tekil matris
- Determinantı \(0\) olan kare matris; tersi yoktur, bu yüzden Cramer kuralı tek bir çözüm vermez.
- Tek bir çözüm
- Tam olarak bir \((x,y,z)\) sistemi sağlar; \(D\neq0\) olduğunda oluşur.
- Tutarlı sistem
- En az bir çözüme sahip olan sistem (bir veya sonsuz çok).
- Bağımlı sistem
- Denklemler hepsi bağımsız olmadığı için sonsuz çok çözüme sahip tutarlı bir sistem.
- Tutarsız sistem
- Hiç çözüme sahip olmayan sistem; denklemleri birbirine çelişir.
- Satır başına \(a, b, c, d\)
- Satır \(i\) içinde, \(a_i\) \(x\)-katsayısı, \(b_i\) \(y\)-katsayısı, \(c_i\) \(z\)-katsayısı ve \(d_i\) sağ taraftaki sabittir.
Sıkça Sorulan Sorular
\(\det(A)\) sıfırsa ne olur? Üç düzlem tek bir noktada kesişmez, dolayısıyla tek bir (x, y, z) çözümü yoktur. Sistem ya tutarsızdır ya da bağımlıdır.
Ondalık veya kesir kullanabilir miyim? Evet; ondalıkları doğrudan girin (örneğin \(1/2\) yerine \(0.5\) yazın).
Cramer kuralı doğru sonuç verir mi? 3×3 bir sistem için tam ve tipik girdilerde kararlıdır. Çok büyük ya da tekilliğe yakın sistemlerde son ondalık basamaklarda küçük yuvarlama farkları görülebilir.
