Ce que fait cette calculatrice
Cet outil résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues (x, y, z). Vous indiquez les coefficients des équations sous leur forme standard :
\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)
La calculatrice renvoie les valeurs uniques de x, y et z, ainsi que le déterminant des coefficients \(\det(A)\). Elle fonctionne avec tous les coefficients réels : nombres négatifs, fractions et décimaux compris.
Comment l'utiliser
Chaque ligne correspond à une équation. Saisissez le coefficient devant x (a), devant y (b) et devant z (c), puis la constante du membre de droite (d). Avant de saisir les valeurs, faites passer toutes les variables à gauche et la constante à droite. Par exemple, si votre équation s'écrit \(5 = 2x - y\), réécrivez-la sous la forme \(2x - y + 0z = 5\).
La formule expliquée
La résolution repose sur la règle de Cramer. On calcule d'abord le déterminant de la matrice des coefficients A. Ensuite, pour chaque inconnue, on remplace la colonne correspondante de A par la colonne des constantes d, et l'on calcule ce nouveau déterminant. La division donne alors la valeur de l'inconnue :
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$Si \(\det(A) = 0\), la règle de Cramer ne s'applique pas : le système n'a pas de solution unique (soit aucune solution, soit une infinité), et la calculatrice vous le signale.
Exemple résolu
Résolvons \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\). En appliquant la règle de Cramer, on obtient \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\), soit \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Vérification : $$2(2)+3-(-1) = 8 \checkmark$$
Interprétation de votre résultat
Chaque équation dans un système 3×3 décrit un plan dans l'espace tridimensionnel. La solution est le point où tous les trois plans se rencontrent, et la valeur du déterminant \(D=\det(A)\) vous indique lequel des trois cas vous avez.
\(D\neq0\) : solution unique
Quand le déterminant des coefficients est non nul, les trois plans se coupent en exactement un point. La règle de Cramer retourne un seul \((x,y,z)\), et ce triplet ordonné est le seul ensemble de valeurs satisfaisant les trois équations à la fois. C'est un système compatible et indépendant. La sortie \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\) est exacte (aux arrondis près) et peut être vérifiée en substituant dans les équations originales.
\(D=0\) : pas de solution unique
Quand \(D=0\) la matrice est singulière et la règle de Cramer ne peut pas diviser. Deux sous-cas existent :
- Incompatible — pas de solution. Les plans n'ont pas de point commun (par exemple, deux ou plus sont parallèles, ou ils forment un arrangement en prisme triangulaire où aucun seul point ne se trouve sur les trois). Le système a zéro solutions.
- Dépendant — infinité de solutions. Les plans partagent toute une ligne (ou coïncident). Ici les équations ne sont pas indépendantes, et il existe une famille infinie de triplets \((x,y,z)\), généralement décrite avec un paramètre libre.
Le déterminant seul ne peut pas distinguer ces deux cas ; vous devez examiner les équations (par exemple, via la réduction par lignes) pour voir si elles sont contradictoires ou redondantes.
Lecture de la sortie x, y, z
Les trois nombres retournés sont les coordonnées qui rendent chaque équation vraie. Une valeur peut être négative, zéro, ou fractionnaire. Si la calculatrice rapporte \(D=0\), traitez la réponse avec prudence et réexaminez le système plutôt que de faire confiance à un résultat divisé.
Définitions et glossaire
- Matrice des coefficients \(A\)
- Le tableau 3×3 des nombres multipliant \(x, y, z\) du côté gauche de chaque équation : les lignes sont les équations, les colonnes correspondent à \(x\), \(y\), et \(z\).
- Vecteur des constantes \(d\)
- La colonne \((d_1, d_2, d_3)\) des valeurs du côté droit que les équations égalent.
- Déterminant \(\det(A)\) (aussi \(D\))
- Un scalaire unique calculé à partir d'une matrice carrée qui mesure si la matrice est inversible. \(\det(A)\neq0\) signifie qu'une solution unique existe.
- Règle de Cramer
- Une méthode qui résout un système linéaire carré en écrivant chaque variable comme un rapport de déterminants : \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), où \(D_x, D_y, D_z\) proviennent du remplacement de la colonne correspondante avec \(d\).
- Règle de Sarrus
- Un raccourci pour le déterminant d'une matrice 3×3 : additionnez les trois diagonales allant de haut-gauche à bas-droite et soustrayez les trois diagonales allant de haut-droite à bas-gauche.
- Matrice singulière
- Une matrice carrée dont le déterminant est \(0\) ; elle n'a pas d'inverse, donc la règle de Cramer ne donne pas de solution unique.
- Solution unique
- Exactement un \((x,y,z)\) satisfait le système ; se produit quand \(D\neq0\).
- Système compatible
- Un système qui a au moins une solution (une ou infinité).
- Système dépendant
- Un système compatible ayant infinité de solutions parce que les équations ne sont pas toutes indépendantes.
- Système incompatible
- Un système sans solution du tout ; ses équations se contredisent l'une l'autre.
- \(a, b, c, d\) par ligne
- Dans la ligne \(i\), \(a_i\) est le coefficient de \(x\), \(b_i\) le coefficient de \(y\), \(c_i\) le coefficient de \(z\), et \(d_i\) la constante du côté droit.
FAQ
Que se passe-t-il si \(\det(A)\) vaut zéro ? Les trois plans ne se croisent pas en un seul point : il n'existe donc pas de solution unique (x, y, z). Le système est soit incompatible, soit indéterminé.
Puis-je utiliser des décimaux ou des fractions ? Oui : saisissez directement les décimaux (utilisez 0.5 plutôt que 1/2).
La règle de Cramer est-elle précise ? Pour un système 3×3, elle est exacte et stable pour des données usuelles. Les systèmes très grands ou proches de la singularité peuvent présenter de légers arrondis sur les dernières décimales.
