Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (x, y, z). Solo tienes que indicar los coeficientes de las ecuaciones en su forma estándar:
\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)
\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)
\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)
La calculadora te devuelve los valores únicos de x, y y z, junto con el determinante de los coeficientes \(\det(A)\). Funciona con cualquier coeficiente real, incluidos números negativos, fracciones y decimales.
Cómo usarla
Cada fila corresponde a una ecuación. Escribe el coeficiente que acompaña a x (a), a y (b) y a z (c), y después la constante del lado derecho (d). Antes de introducir los valores, pasa todas las variables a la izquierda y la constante a la derecha. Por ejemplo, si tu ecuación está escrita como \(5 = 2x - y\), reescríbela como \(2x - y + 0z = 5\).
La fórmula explicada
La solución se obtiene mediante la regla de Cramer. Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes A. Luego, para cada variable, sustituimos la columna correspondiente de A por la columna de constantes d y calculamos ese determinante. Al dividir obtenemos cada variable:
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$
Si \(\det(A) = 0\), la regla de Cramer no se puede aplicar: el sistema no tiene una solución única (no tiene solución o tiene infinitas), y la calculadora te lo indica.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).
\(\det(A) = -1\). Al aplicar la regla de Cramer obtenemos \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\), así que \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Puedes comprobarlo: $$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$
Interpretar su resultado
Cada ecuación en un sistema 3×3 describe un plano en el espacio tridimensional. La solución es donde se encuentran los tres planos, y el valor del determinante \(D=\det(A)\) le indica en cuál de tres casos se encuentra.
\(D\neq0\): solución única
Cuando el determinante de coeficientes es distinto de cero, los tres planos se intersecan en exactamente un punto. La regla de Cramer devuelve una sola \((x,y,z)\), y esa terna ordenada es el único conjunto de valores que satisface las tres ecuaciones simultáneamente. Este es un sistema consistente e independiente. La salida \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\) es exacta (dentro del redondeo) y se puede verificar sustituyendo nuevamente en las ecuaciones originales.
\(D=0\): sin solución única
Cuando \(D=0\) la matriz es singular y la regla de Cramer no puede dividir. Existen dos subcasos:
- Inconsistente — sin solución. Los planos no tienen un punto común (por ejemplo, dos o más son paralelos, o forman una disposición de prisma triangular donde ningún punto único se encuentra en los tres). El sistema tiene cero soluciones.
- Dependiente — infinitas soluciones. Los planos comparten una línea completa (o coinciden). Aquí las ecuaciones no son independientes, y hay una familia infinita de ternas \((x,y,z)\), usualmente descrita con un parámetro libre.
El determinante solo no puede distinguir estos dos casos; debe inspeccionar las ecuaciones (por ejemplo, mediante reducción de filas) para ver si son contradictorias o redundantes.
Lectura de la salida x, y, z
Los tres números devueltos son las coordenadas que hacen verdadera cada ecuación. Un valor puede ser negativo, cero o fraccionario. Si la calculadora reporta \(D=0\), trate la respuesta con precaución y reexamine el sistema en lugar de confiar en un resultado dividido.
Definiciones y glosario
- Matriz de coeficientes \(A\)
- La matriz 3×3 de los números que multiplican \(x, y, z\) en el lado izquierdo de cada ecuación: las filas son las ecuaciones, las columnas corresponden a \(x\), \(y\) y \(z\).
- Vector de constantes \(d\)
- La columna \((d_1, d_2, d_3)\) de valores del lado derecho que las ecuaciones igualan.
- Determinante \(\det(A)\) (también \(D\))
- Un escalar único calculado a partir de una matriz cuadrada que mide si la matriz es invertible. \(\det(A)\neq0\) significa que existe una solución única.
- Regla de Cramer
- Un método que resuelve un sistema lineal cuadrado escribiendo cada variable como una razón de determinantes: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), donde \(D_x, D_y, D_z\) provienen de reemplazar la columna correspondiente con \(d\).
- Regla de Sarrus
- Un atajo para el determinante de una matriz 3×3: sume las tres diagonales que van de arriba a la izquierda a abajo a la derecha y reste las tres diagonales que van de arriba a la derecha a abajo a la izquierda.
- Matriz singular
- Una matriz cuadrada cuyo determinante es \(0\); no tiene inversa, por lo que la regla de Cramer no produce una solución única.
- Solución única
- Exactamente una \((x,y,z)\) satisface el sistema; ocurre cuando \(D\neq0\).
- Sistema consistente
- Un sistema que tiene al menos una solución (una o infinitas).
- Sistema dependiente
- Un sistema consistente con infinitas soluciones porque las ecuaciones no son todas independientes.
- Sistema inconsistente
- Un sistema sin solución alguna; sus ecuaciones se contradicen entre sí.
- \(a, b, c, d\) por fila
- Dentro de la fila \(i\), \(a_i\) es el coeficiente de \(x\), \(b_i\) el coeficiente de \(y\), \(c_i\) el coeficiente de \(z\), y \(d_i\) la constante en el lado derecho.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si \(\det(A)\) es cero? Los tres planos no se cortan en un único punto, por lo que no existe una solución única (x, y, z). El sistema es incompatible o tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).
¿Puedo usar decimales o fracciones? Sí: introduce los decimales directamente (escribe 0,5 como 0.5 en lugar de 1/2).
¿Es precisa la regla de Cramer? Para un sistema 3×3 es exacta y estable con entradas habituales. En sistemas muy grandes o casi singulares pueden aparecer pequeños redondeos en los últimos decimales.
