Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, expresadas como \(a_1 x + b_1 y = c_1\) y \(a_2 x + b_2 y = c_2\). Introduce los seis coeficientes y términos independientes, y obtendrás los valores de \(x\) e \(y\), o un aviso cuando el sistema no tenga una solución única.
Cómo usarla
Escribe los coeficientes \(a_1\) y \(b_1\) y el término independiente \(c_1\) de la primera ecuación; después \(a_2\), \(b_2\) y \(c_2\) de la segunda. Pulsa calcular. Si las rectas se cortan en un único punto, obtendrás los valores exactos de \(x\) e \(y\). Si las rectas son paralelas (sin solución) o coincidentes (infinitas soluciones), la calculadora indicará que el determinante es cero y que no existe una respuesta única.
La fórmula explicada
El método empleado es la regla de Cramer. Primero se calcula el determinante \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\). Cuando \(D \neq 0\), el sistema tiene exactamente una solución dada por
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$Cuando \(D = 0\), las dos ecuaciones representan rectas paralelas o superpuestas, por lo que no existe un par \((x, y)\) único.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(2x + 3y = 8\) y \(x - y = -1\). Aquí \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=8\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\). El determinante es
$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$Entonces
$$x = \frac{8\cdot-1 - (-1)\cdot3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2\cdot-1 - 1\cdot8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$Por tanto, \(x = 1\) e \(y = 2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un determinante igual a cero? Que las dos rectas son paralelas (sin solución) o que son la misma recta (infinitas soluciones). En ambos casos no existe un único par \((x, y)\).
¿Admite decimales o números negativos? Sí, cada coeficiente acepta valores decimales y negativos.
¿Es la regla de Cramer? Sí: utiliza la forma del determinante \(2\times2\) de la regla de Cramer, que es exacta para sistemas lineales de dos variables.
