Что делает этот калькулятор
Инструмент решает систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида \(a_1x + b_1y = c_1\) и \(a_2x + b_2y = c_2\). Введите шесть коэффициентов и свободных членов — и калькулятор выдаст значения \(x\) и \(y\) либо сообщит, что у системы нет единственного решения.
Как пользоваться
Укажите коэффициенты \(a_1\), \(b_1\) и свободный член \(c_1\) для первого уравнения, затем \(a_2\), \(b_2\) и \(c_2\) — для второго. Нажмите «Рассчитать». Если прямые пересекаются в одной точке, вы получите точные значения \(x\) и \(y\). Если прямые параллельны (решений нет) или совпадают (бесконечно много решений), калькулятор сообщит, что определитель равен нулю и единственного ответа не существует.
Разбор формулы
В основе лежит метод Крамера. Сначала вычисляем определитель \(D = a_1b_2 - a_2b_1\). Когда \(D \neq 0\), система имеет ровно одно решение:
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$Когда \(D = 0\), оба уравнения описывают параллельные или совпадающие прямые, поэтому единственной пары \((x, y)\) не существует.
Пример решения
Решим систему \(2x + 3y = 8\) и \(x - y = -1\). Здесь \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=8\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\). Определитель
$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$Тогда
$$x = \frac{8\cdot-1 - (-1)\cdot3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$а
$$y = \frac{2\cdot-1 - 1\cdot8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$Итого: \(x = 1\) и \(y = 2\).
Частые вопросы
Что означает нулевой определитель? Прямые параллельны (решений нет) или совпадают (бесконечно много решений). В любом случае единственной пары \((x, y)\) не существует.
Можно ли использовать дроби и отрицательные числа? Да, каждый коэффициент принимает десятичные дроби и отрицательные значения.
Это метод Крамера? Да — используется форма метода Крамера с определителем \(2\times2\), которая даёт точный результат для линейных систем с двумя переменными.
