Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент рассчитывает радиальную часть квантово-механической волновой функции для водородоподобного атома — то есть системы из одного электрона, связанного с ядром заряда Z (например, атом водорода H или ион гелия He+). На выходе вы получаете радиальную волновую функцию \(R_{n\ell}(r)\) и радиальную плотность вероятности \(D(r) = r^{2}|R_{n\ell}(r)|^{2}\), вычисленные на заданном диапазоне радиусов и представленные в виде наглядной столбчатой диаграммы. Это универсальный физический инструмент без привязки к какой-либо стране: все расстояния выражены в боровских радиусах (a = 1).
Как пользоваться
Выберите ядро (H для Z = 1 или He+ для Z = 2), затем введите главное квантовое число n (1, 2, 3, ...) и орбитальное (азимутальное) квантовое число l (от 0 до n−1). Задайте начальный радиус, шаг приращения и количество точек для расчёта. Калькулятор построит таблицу значений \(r\), \(R_{n\ell}(r)\) и \(D(r)\), отметит радиус, на котором \(D(r)\) достигает максимума, и покажет приближённое значение нормировочного интеграла для проверки.
Разбор формулы
После замены \(x = 2Zr/n\) радиальная функция имеет вид
$$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$где предмножитель
$$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$а L — присоединённый полином Лагерра. Ведущий знак «минус» — это всего лишь соглашение о фазе, и на \(|R_{n\ell}|^{2}\) он не влияет. Умножив на \(r^{2}\), получаем \(D(r)\) — вероятность обнаружить электрон в тонком шаровом слое между \(r\) и \(r+dr\).
Пример расчёта
Для водорода в состоянии 1s (Z = 1, n = 1, l = 0) при r = 1 боровском радиусе: \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0{,}5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\), поэтому
$$R = -2e^{-1} = -0{,}73576$$$$D = 1^{2} \times 0{,}73576^{2} = 0{,}54134$$Это и есть максимум \(D(r)\) для орбитали 1s, что подтверждает: наиболее вероятный радиус нахождения электрона равен одному боровскому радиусу.
Частые вопросы
Почему максимум D(r) не приходится на r = 0? Хотя для 1s величина \(|R_{n\ell}|^{2}\) наибольшая вблизи ядра, объём шарового слоя пропорционален \(r^{2}\) и обращается в ноль в центре. Поэтому \(D(0) = 0\), и вероятность достигает пика на конечном радиусе.
В каких единицах ведётся расчёт? Всё выражено в боровских радиусах (a = 1), поэтому r, шаг и радиус максимума — это безразмерные кратные боровского радиуса (≈0,529 ангстрема).
Почему проверка нормировки не даёт ровно 1? Интеграл приближённо считается как простая сумма прямоугольников по выбранным вами точкам. Чтобы приблизиться к 1, расширьте диапазон и уменьшите шаг.
