這個計算器的功能
這個工具用來計算類氫原子（即一顆電子受核電荷 \(Z\) 束縛的系統，例如氫原子 H 或氦離子 He+）量子力學波函數的徑向部分。它會回傳徑向波函數 \(R_{n\ell}(r)\) 以及徑向機率密度 \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\)，在一系列半徑上取樣，並以簡單長條圖呈現。這是一項通用的物理工具，不涉及任何特定國家的假設；所有距離皆以波耳半徑（\(a = 1\)）表示。
使用方式
先選擇原子核（H 對應 \(Z = 1\)，He+ 對應 \(Z = 2\)），接著輸入主量子數 \(n\)（1、2、3……）與角量子數 \(\ell\)（0 到 \(n-1\)）。再設定起始半徑、步進量以及取樣點數。計算器會建立一張包含 \(r\)、\(R_{n\ell}(r)\) 與 \(D(r)\) 的表格，標出 \(D(r)\) 達到最大值的半徑，並顯示歸一化積分的近似值供你檢查結果是否合理。
公式說明
透過代換 \(x = 2Zr/n\)，徑向函數可寫成 $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$ 其中前置因子 $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ 而 \(L\) 為相伴拉蓋爾多項式（associated Laguerre polynomial）。式中前面的負號只是相位慣例，並不影響 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 的數值。再乘上 \(r^{2}\) 即得到 \(D(r)\)，代表電子出現在 \(r\) 到 \(r+dr\) 這個薄殼層中的機率。
實例演算
以氫原子 1s 軌域（\(Z = 1\)、\(n = 1\)、\(\ell = 0\)）在 \(r = 1\) 波耳半徑處為例：\(x = 2\)，\(P = \sqrt{8 \times 0.5} = 2\)，\(L_{0}^{1}(2) = 1\)，因此 $$R = -2e^{-1} = -0.73576$$ $$D = 1^{2} \times 0.73576^{2} = 0.54134$$ 這其實正是 1s 軌域 \(D(r)\) 的最大值，印證了電子最可能出現的半徑就是一個波耳半徑。
常見問題
為什麼 \(D(r)\) 的峰值不在 \(r = 0\)？雖然對 1s 軌域而言 \(|R_{n\ell}|^{2}\) 在原子核附近最大，但薄殼層的體積因子 \(r^{2}\) 在原點處趨近於零，所以 \(D(0) = 0\)，機率會在某個有限半徑處達到最大。
使用什麼單位？一律採用波耳半徑（\(a = 1\)），因此 \(r\)、步進量與峰值半徑都是波耳半徑（約 0.529 埃）的無因次倍數。
為什麼歸一化檢查不會剛好等於 1？這個積分是以你所選取樣點做簡單的矩形求和近似而得；若把範圍加大、步進量縮小，結果就會更接近 1。
