Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, hidrojen benzeri bir atomun (yükü Z olan bir çekirdeğe bağlı tek elektron; örneğin hidrojen H ya da helyum iyonu He+) kuantum mekaniksel dalga fonksiyonunun radyal kısmını hesaplar. Radyal dalga fonksiyonu \(R_{n\ell}(r)\) ile radyal olasılık yoğunluğu \(D(r) = r^{2}\,|R_{n\ell}(r)|^{2}\) değerlerini, belirli bir yarıçap aralığında örnekleyerek verir ve sonuçları basit bir çubuk grafikte gösterir. Tamamen evrensel bir fizik aracıdır; ülkeye özgü hiçbir varsayım içermez. Tüm uzaklıklar Bohr yarıçapı cinsinden (a = 1) ifade edilir.
Nasıl kullanılır?
Önce çekirdeği seçin (Z = 1 için H ya da Z = 2 için He+), ardından baş kuantum sayısı n (1, 2, 3, ...) ile açısal (azimutal) kuantum sayısı l (0 ile n-1 arası) değerlerini girin. Başlangıç yarıçapını, adım aralığını ve kaç nokta örnekleneceğini belirleyin. Hesaplayıcı; r, \(R_{n\ell}(r)\) ve \(D(r)\) değerlerinden oluşan bir tablo oluşturur, \(D(r)\)'nin tepe yaptığı yarıçapı vurgular ve bir tutarlılık kontrolü olarak normalleştirme integralinin yaklaşık değerini gösterir.
Formülün açıklaması
\(x = 2Zr/n\) dönüşümü yapıldığında radyal fonksiyon $$R_{n\ell}(r) = -P\, e^{-Zr/n}\, x^{\ell}\, L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(x)$$ biçimini alır. Burada öndeki çarpan $$P = \sqrt{\left(\tfrac{2Z}{n}\right)^{3}\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n\,(n+\ell)!}}$$ ve L ilişkili Laguerre polinomudur. Baştaki eksi işareti yalnızca bir faz seçimidir; \(|R_{n\ell}|^{2}\) değerini etkilemez. \(r^{2}\) ile çarpıldığında, elektronu r ile r+dr arasındaki ince bir kabukta bulma olasılığını veren \(D(r)\) elde edilir.
Çözümlü örnek
Hidrojen 1s için (Z = 1, n = 1, l = 0), r = 1 Bohr yarıçapında: \(x = 2\), \(P = \sqrt{8 \times 0{,}5} = 2\), \(L_{0}^{1}(2) = 1\) olur; böylece $$R = -2e^{-1} = -0{,}73576$$ ve $$D = 1^{2} \times 0{,}73576^{2} = 0{,}54134$$ bulunur. Bu değer aslında 1s orbitali için \(D(r)\)'nin maksimumudur ve elektronun en olası yarıçapının bir Bohr yarıçapı olduğunu doğrular.
Sıkça sorulan sorular
D(r)'nin tepe noktası neden r = 0'da değil? 1s için \(|R_{n\ell}|^{2}\) çekirdeğe en yakın yerde en büyük olsa da, kabuk hacmi çarpanı \(r^{2}\) başlangıç noktasında sıfırlanır; bu yüzden \(D(0) = 0\) olur ve olasılık sıfırdan farklı bir yarıçapta tepe yapar.
Hangi birimler kullanılıyor? Her şey Bohr yarıçapı cinsindendir (a = 1); dolayısıyla r, adım ve tepe yarıçapı boyutsuz birer Bohr yarıçapı katıdır (~0,529 angström).
Norm kontrolü neden tam olarak 1 çıkmıyor? İntegral, seçtiğiniz noktalar üzerinden basit bir dikdörtgen toplamı ile yaklaşık olarak hesaplanır. Aralığı genişletip adımı küçülttüğünüzde sonuç 1'e daha çok yaklaşır.
